超質數

超質數也稱為高階質數，是指在質數序列中，第2個、第3個、第5個……等序數為質數的數。換句話說，若將正整數和質數從小到大兩兩對應排列，讓正整數的1對應質數的2，則正整數那列為質數的數字，質數那列對應的就是超質數。

超質數有

3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, ... （OEIS數列A006450）.

若p(i) 表示第i個質數，則超質數即為p(p(i))。

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
p(n)	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
p(p(n))	3	5	11	17	31	41	59	67	83	109	127	157	179	191	211	241	277	283	331	353

Dressler & Parker (1975)利用電腦輔助的證明（和子集和問題的計算有關）證明了所有大於96的數都可以表示為幾個相異超質數的和。此證明的基礎和伯特蘭-柴比雪夫定理有關，說明（大於11的每一個超質數，都比前一個的二倍要小。

Broughan及Barnett^[1]證明了小於x的超質數數量如下

${\displaystyle {\frac {x}{(\log x)^{2}}}+O\left({\frac {x\log \log x}{(\log x)^{3}}}\right)}$

這可以說明超質數的集合是小集（集合倒數的和會收斂）。

也可以用類似的方式定義更高階的質數，產生類似的數列Fernandez (1999)。

超質數的一個變體是序數為回文質數的質數，數列如下

3, 5, 11, 17, 31, 547, 739, 877, 1087, 1153, 2081, 2381, ... （OEIS數列A124173）.

參考資料

1. Kevin A. Broughan and A. Ross Barnett, On the Subsequence of Primes Having Prime Subscripts （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Journal of Integer Sequences 12 (2009), article 09.2.3.

• Bayless, Jonathan; Klyve, Dominic; Oliveira e Silva, Tomás, New bounds and computations on prime-indexed primes, Integers, 2013, 13: A43:1–A43:21 [2024-03-11], MR 3097157, （原始內容存檔於2023-06-07）
• Broughan, Kevin A.; Barnett, A. Ross, On the subsequence of primes having prime subscripts, Journal of Integer Sequences, 2009, 12, article 09.2.3 [2015-08-25], （原始內容存檔於2015-09-11）
• Dressler, Robert E.; Parker, S. Thomas, Primes with a prime subscript, Journal of the ACM, 1975, 22 (3): 380–381, MR 0376599, doi:10.1145/321892.321900.
• Fernandez, Neil, An order of primeness, F(p), 1999 [2015-08-25], （原始內容存檔於2012-07-10）.

外部連結

• A Russian programming contest problem related to the work of Dressler and Parker