中心 (群論)維基百科,自由的 encyclopedia 在抽象代數中,群 G {\displaystyle G} 的中心 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是所有在 G {\displaystyle G} 中和 G {\displaystyle G} 的所有元素可交換的元素的集合,也就是: Z ( G ) = { z ∈ G ∣ g z = z g , ∀ g ∈ G } {\displaystyle Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}} 注意 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一個 G {\displaystyle G} 的子群:若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中,則 ( x y ) g = x ( y g ) = ( x g ) y = x ( g y ) = ( g x ) y = g ( x y ) ∀ g ∈ G {\displaystyle \left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G} ,故 x y {\displaystyle xy} 也在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中。同樣的論證對於逆操作也成立。 而且, Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一個 G {\displaystyle G} 的可交換子群,也是 G {\displaystyle G} 的正規子群,甚至是 G {\displaystyle G} 的嚴格特徵子群,但不總是完全特徵的。 G {\displaystyle G} 的中心是整個 G {\displaystyle G} 當且僅當 G {\displaystyle G} 是可交換群。另一個極端是,若 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是平凡群,群可以是無中心的。 考慮映射 Φ : G → Aut ( G ) {\displaystyle \Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)} ,這是到 G {\displaystyle G} 的自同構群的映射,定義為: G {\displaystyle G} 中每個元素 G {\displaystyle G} 在 Φ {\displaystyle \Phi } 下的像是自同構 h ⟼ g h g − 1 {\displaystyle h\longmapsto ghg^{-1}} 。 Φ {\displaystyle \Phi } 的核是 G {\displaystyle G} 的中心,而 Φ {\displaystyle \Phi } 的像稱為 G {\displaystyle G} 的內自同構群,記為 Inn ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} \left(G\right)} ,按照第一同構定理: G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) {\displaystyle G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)} 。 例子 阿貝爾群G的中心即為其自身G。 正交群 O ( n ) {\displaystyle O\left(n\right)} 的中心是 { I , − I } {\displaystyle \left\{I,-I\right\}} 。 參見 中心 (代數) 中心化子和正規化子 共軛類
在抽象代數中,群 G {\displaystyle G} 的中心 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是所有在 G {\displaystyle G} 中和 G {\displaystyle G} 的所有元素可交換的元素的集合,也就是: Z ( G ) = { z ∈ G ∣ g z = z g , ∀ g ∈ G } {\displaystyle Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}} 注意 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一個 G {\displaystyle G} 的子群:若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中,則 ( x y ) g = x ( y g ) = ( x g ) y = x ( g y ) = ( g x ) y = g ( x y ) ∀ g ∈ G {\displaystyle \left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G} ,故 x y {\displaystyle xy} 也在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中。同樣的論證對於逆操作也成立。 而且, Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一個 G {\displaystyle G} 的可交換子群,也是 G {\displaystyle G} 的正規子群,甚至是 G {\displaystyle G} 的嚴格特徵子群,但不總是完全特徵的。 G {\displaystyle G} 的中心是整個 G {\displaystyle G} 當且僅當 G {\displaystyle G} 是可交換群。另一個極端是,若 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是平凡群,群可以是無中心的。 考慮映射 Φ : G → Aut ( G ) {\displaystyle \Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)} ,這是到 G {\displaystyle G} 的自同構群的映射,定義為: G {\displaystyle G} 中每個元素 G {\displaystyle G} 在 Φ {\displaystyle \Phi } 下的像是自同構 h ⟼ g h g − 1 {\displaystyle h\longmapsto ghg^{-1}} 。 Φ {\displaystyle \Phi } 的核是 G {\displaystyle G} 的中心,而 Φ {\displaystyle \Phi } 的像稱為 G {\displaystyle G} 的內自同構群,記為 Inn ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} \left(G\right)} ,按照第一同構定理: G / Z ( G ) ≅ Inn ( G ) {\displaystyle G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)} 。 例子 阿貝爾群G的中心即為其自身G。 正交群 O ( n ) {\displaystyle O\left(n\right)} 的中心是 { I , − I } {\displaystyle \left\{I,-I\right\}} 。 參見 中心 (代數) 中心化子和正規化子 共軛類