維因位移定律

維因位移定律（Wien's displacement law）是物理學上描述黑體電磁輻射光譜輻射度的峰值波長與自身溫度之間反比關係的定律，其數學表示為：

${\displaystyle \lambda _{max}={\frac {b}{T}}}$

幾個不同溫度下的黑體輻射的電磁波譜（橫軸為輻射的波長，縱軸為相應的能量密度）。維因位移定律描述的就是輻射峰值隨黑體溫度變化的關係。

式中

${\displaystyle \lambda _{max}\,}$ 為輻射的峰值波長（單位：米），

${\displaystyle T\,}$為黑體的絕對溫度（單位：開爾文），

${\displaystyle b}$ 為比例常數，稱為維因位移常數，數值等於2.897 7729(17) × 10^–3 m·K^[1] （2014年國際科技資料委員會推薦值，括號中為68.27%信心水準下的不確定尾數），約等於2898 μm⋅K。

光學上一般使用納米（nm）作為波長單位，則b = 2.897 7729(17) × 10⁶ nm·K。

說明

維因位移定律說明了一個物體越熱，其輻射譜的波長越短（或者說其輻射譜的頻率越高）。譬如在宇宙中，不同恆星隨表面溫度的不同會顯示出不同的顏色，溫度較高的顯藍色，次之顯白色，瀕臨燃盡而膨脹的紅巨星表面溫度只有2000-3000K，因而顯紅色^[2]。太陽的表面溫度是5778K，根據維因位移定律計算得的峰值輻射波長則為502nm，這近似處於可見光光譜範圍的中點，為綠色光^[3]。但實際我們看到的太陽是黃色的，這和各個波長成分的光所做出的貢獻有關^[4]。

與太陽表面相比，通電的白熾燈的溫度要低數千度，所以白熾燈的輻射光譜偏橙。至於處於「紅熱」狀態的電爐絲等物體，溫度要更低，所以更加顯紅色。溫度再下降，輻射波長便超出了可見光範圍，進入紅外區，譬如人體釋放的輻射就主要是紅外線，軍事上使用的紅外線夜視儀就是經由探測這種紅外線來進行「夜視」的。

本定律由德國物理學家威廉·維因於1893年經由對實驗資料的經驗總結提出。

頻率形式

用f 表示頻率，單位赫茲，則維因位移定律可表示為以下頻率形式

${\displaystyle f_{max}={\alpha k \over h}T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T}$

${\displaystyle \alpha \approx 2.821439...}$ 是數值求解最大值方程式得到的常數；

k 為波茲曼常數，

h 為普朗克常數，

T 為絕對溫度（單位：開爾文）

需要注意的是，以上頻率形式中的輻射能流密度定義為「通過單位面積、單位寬度的頻率帶在單位時間中輻射出的能量」，而波長形式的輻射能流密度則定義為「通過單位面積、單位寬度的波長範圍在單位時間中輻射出的能量」，因此${\displaystyle f_{max}}$和${\displaystyle \lambda _{max}}$對應的並不是同一個輻射峰。所以 ${\displaystyle f_{max}}$和波長形式中的 ${\displaystyle \lambda _{max}}$不滿足 頻率×波長=波速 的關係式，即：

${\displaystyle {f_{max}}\not ={c \over \lambda _{max}}}$

其中c 表示光速。

定律的推導

雖然威廉·維因提出本定律的時間是在普朗克黑體輻射定律出現之前的1893年，且過程完全基於對實驗資料的經驗總結，但可以證明，本定律是更為廣義的普朗克黑體輻射定律的一個直接推論。

根據普朗克定律，以波長為自變量的黑體輻射能流密度譜為：

${\displaystyle u(\lambda )={2\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}}$

為求出使得u 取得最大值的${\displaystyle \lambda }$，令${\displaystyle u(\lambda )}$對${\displaystyle \lambda }$ 的導數為0

${\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2\pi hc\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0}$

${\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0}$

若定義無因次變量

${\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT}}$

則

${\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0}$

方程式的解無法表示成初等函數（為郎伯W函數），但能否得到精確解並不影響本推導過程。可以很容易用數值方法得到${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=4.965114231744276\ldots }$    （無因次）

將解代入x 的表現式，可得：

${\displaystyle \lambda _{max}={hc \over kx}{1 \over T}={2.8977721\ldots \times 10^{6}\ \mathrm {nm\cdot K} \over T}}$.

其中${\displaystyle \lambda }$單位為納米，溫度單位為開爾文。

本定律的頻率形式也可經由類似的方法推得，只要將作為出發點的普朗克定律寫成頻率形式即可。

註釋

1. CODATA Value: Wien wavelength displacement law constant. physics.nist.gov. [2016-12-08]. （原始內容存檔於2016-11-16）.
2. 可見光顏色的波長從長到短依次為紅->橙->黃->綠->青->藍->紫
3. 整個太陽光光譜完整覆蓋（且超出）了可見光光譜範圍，使得太陽光（在沒有大氣的情況下）呈白色。至於人們在地上所看見的紅日、藍天等現象，都是由於大氣層氣體分子對短波長光線作瑞立散射的結果。
4. The Colour of Stars. Australian Telescope Outreach and Education. [2006-08-13]. （原始內容存檔於2012-03-10）.

外部連結

• Eric Weisstein的物理世界（英文） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• PlanetPhysics （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考文獻

• 吳強、郭光燦編，《光學》，中國科學技術大學出版社，合肥，1996，第381頁~第382頁，ISBN 7-312-00762-7