立方體半形

在抽象幾何學中，立方體半形是一種僅由一半數量的立方體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與立方體類似，它們的每個頂點都是3個正方形的公共頂點，然而立方體有6個面，而立方體半形僅有3個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中^[2]。在拓樸學上，其可以視為正四面體的皮特里對偶^[3]。

提示：此條目頁的主題不是超半方形。

立方體半形

類別	抽象多胞形（英語：Abstract polytope） 射影多面體（英語：projective polyhedron）
對偶多面體	八面體半形[1]
原像	立方體 （半形體）
名稱	立方體半形 hemicube
數學表示法
施萊夫利符號	{4,3}/2 {4,3}3
性質
面	3
邊	6
頂點	4
歐拉特徵數	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
組成與佈局
面的種類	正方形
頂點圖	4.4.4
對稱性
對稱群	S4, 24階
特性
不可定向、 歐拉示性數為1
圖像
4.4.4 （頂點圖） 八面體半形[1] （對偶多面體）
閱 論 編

性質

立方體半形由3個面、6條邊和4個頂點組成，每個面都是正方形，且每個頂點都是3個正方形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用{4,3}/2或{4,3}₃來表示，其中{4,3}代表且每個頂點都是3個正方形的公共頂點^[4]，然而{4,3}代表正常的立方體，即正六面體，因此用「/2」符號來表示所有元素都僅有立方體的一半數量^[5][6]。

立方體半形的對偶多面體為正八面體半形，這個在更高維度的類比結構中同樣成立，即${\displaystyle n+1}$維超方形半形（施萊夫利符號：${\displaystyle {\left\{4,3^{n-1}\right\}}_{n+1}}$）的對偶多胞形為${\displaystyle n+1}$維正軸形半形（施萊夫利符號：${\displaystyle {\left\{3^{n-1},4\right\}}_{n+1}}$）。^[5][6]

特別地，這個立體的每個面皆與相鄰面共用2條邊，且每個面都包含了立體中所有頂點。一般而言，多胞形的面可以透過其點集來決定^[7]，也就是說，一般不會存在2個相異面點集合相同的情況，因此這個立體是面無法僅從點集來確定的抽象多面體的例子之一。

構造

立方體半形可從有公共頂點的半個立方體（即三個面，下圖的I、II、III）開始構造。此形狀的邊界為一個六邊形，然後下一步是將此六條邊分成三組對邊（下圖的4、5、6），將每對邊（沿同一方向，例如順時針）黏合，就得到立方體半形^[4]。這樣的構建方式使用了正四面體的骨架^[8]，同時其構成的面不會共面^[4]，其與正四面體的皮特里多邊形相同，其骨架在圖論中對應到四面體圖，可以視為K₄完全圖嵌入於射影平面上的結果。^[4]

立方體半形

K4完全圖

皮特里四面體

具象化

立方體半形可被視為是射影多面體（英語：projective polyhedron） （可視為由三個四邊形構成的實射影平面鑲嵌）^[9]。要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，並過半球體的邊界連接對蹠點，同時確保連接的部分能將半球體平均分割成三等份。

立方體半形和半立方體不同，立方體半形是一個射影多面體（英語：projective polyhedron），且無法嵌入在三維歐幾里得空間中^[2]；而半立方體是一個位於三維歐幾里德空間中的普通多面體。 雖然它們的頂點數皆為立方體的一半，立方體半形可以視為立方體的商空間，而半立方體則不是，半立方體只有頂點為立方體頂點的子集。

皮特里四面體

皮特里四面體

以不同顏色表示每個面
類別	皮特里對偶 正則地區圖
對偶多面體	八面體半形
數學表示法
施萊夫利符號	{3,3}π {4,3}3
性質
面	3
邊	6
頂點	4
歐拉特徵數	F=3, E=6, V=4 （χ=1）
二面角	(不存在)
對稱性
對稱群	Td, [3,3], *332
特性
扭歪、正則
閱 論 編

皮特里四面體是正四面體的皮特里對偶^[1][10]。在拓樸學上，這個結構與立方體半形同構，並可以視為立方體半形的一種具象化方式^[4]。相對的立方體半形的皮特里對偶為正四面體，這意味着其皮特里多邊形可以與半立方體（此例對應正四面體）的面對應^[11]。也就是說，立方體半形和正四面體互為皮特里對偶。^[1][10]

皮特里四面體由3個面、6條邊和4個頂點組成，其中，3個面皆為正四面體的皮特里多邊形。正四面體的皮特里多邊形是一個扭歪四邊形。^[12]由於皮特里四面體由扭歪四邊形組成^[13]，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。^[14]

皮特里四面體是一個不可定向且歐拉示性數為1的幾何結構^[1]。

正四面體的皮特里多邊形

構成皮特里立方體的扭歪四邊形面

皮特里四面體的頂點、邊和面數皆為立方體的一半，因此皮特里四面體可以被立方體（的表面）二重覆蓋^[1]。皮特里四面體的對偶多面體為八面體半形^[1]。皮特里四面體可以截半為截半立方體半形^[1][15]。

皮特里四面體

以正則地區圖表示的皮特里四面體

皮特里四面體的對偶多面體以正則地區圖表示

相關多面體

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有^[6]：

立方體半形

八面體半形

十二面體半形

二十面體半形

立方體半形與皮特里四面體拓樸同構，其可以視為是正多面體的皮特里對偶之一。其他也是正多面體的皮特里對偶之幾何結構有：^[16]

皮特里四面體

皮特里立方體

皮特里八面體

皮特里十二面體

皮特里二十面體

參考資料

1. The hemicube. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2019-05-02）.
2. Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-07-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）.
3. Pellicer, D, Gráficas cpr y polytopos abstractos regulares (PDF), Universidad Nacional Autónoma de México, Mexico City, Mexico, 2007 [2021-07-31], （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）
4. Séquin, Carlo H and Lanier, Jaron. Hyperseeing the regular Hendecachoron. Proc ISAMA. 2007: 159–166 [2021-08-04]. （原始內容存檔於2021-08-04）.
5. Hartley, Michael I. The Classification of Rank 4 Locally Projective Polytopes and Their Quotients (PDF). arXiv preprint math/0310429. 2003 [2021-07-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）.
6. McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
7. Kaibel, Volker and Pfetsch, Marc E. Computing the face lattice of a polytope from its vertex-facet incidences (PDF). Computational Geometry (Elsevier). 2002, 23 (3): 281–290 [2021-07-31]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-08-06）.
8. Carlo H. Séquin. Sculpture designs and math models. University of California, Berkeley. [2021-07-31]. （原始內容存檔於2021-10-22）. "Ribbed Hemicube" (June 2007) - 5"
9. Helfand, Ilanit, Constructions of k-orbit Abstract Polytopes, Northeastern University, 2013
10. The tetrahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-08-23）.
11. Bracho, Javier and Hubard, Isabel and Pellicer, Daniel. A Finite Chiral 4-Polytope in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Discrete & Computational Geometry (Springer). 2014, 52 (4): 799––805.
12. Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647
13. McMullen, Peter; Schulte, Egon, Abstract Regular Polytopes, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 92, Cambridge University Press: 192, 2002, ISBN 9780521814966
14. Barnard, L., Aro -- Healing Touching Lives -- Theories, Techniques and Therapies: The Techniques and Therapies of Aro-Healing, Xlibris UK, 2014 [2021-07-31], ISBN 9781483631646, （原始內容存檔於2021-07-31）
15. Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-01-26）.
16. Regular maps in the orientable surface of genus 0. Regular Map database - map details. [2021-07-31]. （原始內容存檔於2021-10-19）.

外部連結

• 立方體半形 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）