提示:此條目頁的主題不是
Picard modular group。
數學中,環空間X的皮卡德群,是在X上可逆層(或線叢)的同構類組成群,記作
。此群的群運算為張量積。這個群的構造理念是構造因數(除子)類群或理想類群的廣域(global)版本, 這種構造在代數幾何和複流形理論中廣泛使用。
此外,皮卡德群也可以定義為層上同調群
![{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc1cea3175780e2aa92b26283a76f0fe2774c73)
對於積分概形, 皮卡德群同構於Cartier 因數的類群。對於複流形,指數層級數能給出對應的皮卡德群的基本信息。
因為皮卡德在代數曲面上的因數的相關研究, 這個群以他命名。
- 一個戴德金整環的譜的皮卡德群是這個戴爾金整環的理想類群。
- 如果
是一個域,那麼其射影空間
上的可逆層是扭轉層
所以
的皮卡德群同構於
。
- 在
上有兩個原點的仿射線的皮卡德群同構於
。
維復仿射空間的皮卡德群:
。因為指數序列正好生成了以下上同調的長序列
![{\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2aba82814552e864ee67772c0804ee2fe0902a)
- 並且因為
[1]
- 因為
是可收縮的 所以我們可以得出
,那麼![{\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5732a720eceb8d7bc00b1bf015c5b1e0ffaf46)
- 由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下結論, 可以應用Dolbeault 同構來計算:
![{\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837a7c91982245a734b3c244166ac9414a3a3e7d)
我們可以在在皮卡德群(的可表示函子版本)上構造概形結構,即皮卡德概形,是代數幾何中的重要工具,特別是在阿貝爾簇的對偶理論中。這種方法由Grothendieck (1962)構建,並由Mumford (1966)和Kleiman (2005)描述。
- Grothendieck, A., V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232 (7): 143–161, 1962 [2023-06-06], (原始內容存檔於2023-06-07)
- Grothendieck, A., VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236 (7): 221–243, 1962 [2023-06-06], (原始內容存檔於2023-06-06)
- Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
- Igusa, Jun-Ichi, On some problems in abstract algebraic geometry, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 1955, 41 (11): 964–967, Bibcode:1955PNAS...41..964I, PMC 534315
, PMID 16589782, doi:10.1073/pnas.41.11.964
- Kleiman, Steven L., The Picard scheme, Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 235–321, 2005, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410, arXiv:math/0504020
![可免費查閱](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png)
- Mumford, David, Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies 59, Princeton University Press, 1966, ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285, OCLC 171541070
- Mumford, David, Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, 1970, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290
Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients