子集(英語:subset)亦稱部分集合,為某集合中部分元素的集合;關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的關係被稱為「包含」。
如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(任意 a∈A,則 a∈B),那麼集合A稱為集合B的子集,記為 或 ,讀作「集合A包含於集合B」或「集合B包含集合A」。
即:,有 ,則 。
- 是的子集(或稱 包含於 );
- 是的父集/超集(或稱 包含 );
任何集合皆是本身的子集()。而的子集中不等於 的集合,稱為真子集,若 是 的真子集,寫作 。
定義
假設有 和 兩個集合,如果 中的每個元素都是的元素,則:
- 是 的子集,記作
- 也可以說
- 是 的超集,記作
如果 是 的子集,但 不等於 (即 中至少存在一個元素不在 集合中),則:
- 是 的真子集,記作
- 也可以說
- 是 的真超集,記作
符號
ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配:[1]
舉例
性質
命題1:空集是任意集合的子集。
這個命題說明:包含是一種偏序關係。
命題2:若 是集合,則:
- 自反性:
- 傳遞性:
- 若且則
這個命題說明:對任意集合 , 的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數。
命題3:若 是集合 的子集,則:
- 存在並運算:
- 若且則
- 存在交運算:
- 若 且 則
命題4:對任意兩個集合 和 ,下列表述等價:
參考文獻
參見
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