準素理想

在交換代數中，一個交換環 ${\displaystyle R}$ 裏的理想 ${\displaystyle Q}$ 若滿足 ${\displaystyle R/Q\neq (0)}$，而且其中每個零除數都是冪零的，則稱之為準素理想。另一種等價的刻畫是：對任意 ${\displaystyle a,b\in R}$，若 ${\displaystyle ab\in Q}$，則或有 ${\displaystyle a\in Q}$，或 ${\displaystyle \exists n\,b^{n}\in Q}$。

若設 ${\displaystyle P}$ 為 ${\displaystyle Q}$ 的根（必為素理想），則也稱 ${\displaystyle Q}$ 為P-準素理想。

任何素理想都是準素理想。在整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中，準素理想對應到素數的冪。

一般而言，對任何 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$，定義

${\displaystyle \mathrm {Ass} (M):=\{P\in \mathrm {Spec} (R):\exists m\in M,P=\mathrm {ann} (m)\}}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {ann} (m):=\{r\in R:rm=0\}}$。

對於子模 ${\displaystyle N\subset M}$，若 ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M/N)}$ 只有一個元素 ${\displaystyle P}$，則稱 ${\displaystyle N}$ 為 ${\displaystyle P}$-準素子模。取 ${\displaystyle R=M}$，便回到先前的定義。

參見

• 準素分解

文獻

• David Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi+785 pp. ISBN 0-387-94268-8; ISBN 0-387-94269-6 MR1322960
• V. T. Markov, Primary Ideal, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

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