在交換代數中, 深度是交換環與模的一種不變量,它可以由正則序列定義,或以同調代數中的Ext函子刻劃。
正則序列
設
為交換環,
為
-模。若元素
滿足
(即:
非
的零因子),則稱之為
-正則元。
一組 M-正則序列是一個
中的有限序列
,使得對每個
有
為
-正則元(置
)
定理(Rees):若
是局部諾特環,元素皆屬於
的正則序列之置換仍是正則序列,而且這類序列中的極大者都具相同長度。
深度
假設同上,並固定一個理想
。定義
-模
的I-深度為元素皆屬於
的
-正則序列的最大長度,記作
(在法文文獻中常記作
)。環
的
-深度定義為
。
亦可用Ext函子刻劃為使得
的最小非負整數
。
下列等式將深度問題化約到局部環的情形:
![{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7624f4879ead78134a6e19e2e42dbec9c789c55)
以下定理揭示了深度與射影維度的關係。
定理 (Auslander-Buchsbaum):設
為局部諾特環,
為有限生成
-模,而且其射影維度有限,則
![{\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e91aa7be40a106f0f03b25a829400f2b372472)
文獻
- V.I. Danilov, Depth of a module, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
- Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1