比較審斂法

比較審斂法（Direct comparison test）是一種判定級數是否收斂的方法。

無窮級數
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
無窮級數
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閱 論 編

定理

設兩個級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$，且${\displaystyle |u_{n}|\leq v_{n}(n=1,2,3,...)}$：

如果級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$收斂，則級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收斂；

設兩個級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$，且${\displaystyle v_{n}\leq u_{n}(n=1,2,3,...)}$：

如果級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$發散，則級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$發散。

證明

證明1

設${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},s_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$當${\displaystyle u_{n}\leq v_{n}}$時，則有${\displaystyle \sigma _{k}\leq s_{k}}$：

當級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$收斂時，數列${\displaystyle s_{k}}$有界，從而數列${\displaystyle \sigma _{k}}$有界，所以級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收斂；

當級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$發散時，數列${\displaystyle \sigma _{k}}$無界，從而數列${\displaystyle s_{k}}$無界，所以級數${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$發散。

證明2

設有級數${\displaystyle \sum a_{n}}$與${\displaystyle \sum b_{n}}$，其中${\displaystyle \sum b_{n}}$絕對收斂（${\displaystyle \sum |b_{n}|}$收斂）。不失一般性地假設對於任何正整數n，都滿足${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$。考慮它們的部分和${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|.}$由於${\displaystyle \sum b_{n}}$絕對收斂，存在實數T，使得${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$成立。

對於任意n，都有${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$ (因滿足${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$)

由於${\displaystyle S_{n}}$為單調不下降序列，${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$為單調不上升序列(隨着n上升，屬於${\displaystyle |a_{n}|}$的便多過屬於${\displaystyle |b_{n}|}$)，給定${\displaystyle m,n>N}$，${\displaystyle S_{n},S_{m}}$都屬於閉區間${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$，當N趨向無窮大時，這個區間的長度${\displaystyle T-T_{n}}$趨向於0。這表明${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$是一個柯西序列，因此收斂於一個極限值。因此${\displaystyle \sum a_{n}}$絕對收斂。

參見

• 審斂法
• 比值審斂法
• 根值審斂法
• 交錯級數審斂法