樣本變異數是依據所給樣本對隨機變量的變異數做出的一個估計。
定義
| 此條目 沒有列出任何參考或來源。 (2017年8月26日) |
設
是隨機變量
的
個樣本,則樣本變異數定義為:
![{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54782f27f6b9157389e2c57b627b3bcaf08c4b34)
其中
為樣本均值。
根據該定義,可以得出:
![{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d0a8ab8df5694995e73035ca17983e40f52352)
不偏性
若隨機變量
的期望值為
、變異數為
,則樣本變異數的期望值滿足:
![{\displaystyle \operatorname {E} (s^{2})={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2})-n\operatorname {E} ({\bar {X}}^{2}){\big ]}={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}){\big ]}=\sigma ^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171fb9cc4367e4aaa16154f9f93d521910fea4fb)
即樣本變異數是母體變異數的不偏估計。
樣本變異數的定義中,分母的值為
而非
,一個重要原因即是這樣定義的樣本變異數是母體變異數的不偏估計。這被稱為自由度修正。
樣本變異數的分佈
樣本變異數作為隨機變量的(可測)函數,其本身也是一個隨機變量。在某些特殊情況下樣本變異數的分佈是已知的。例如,若
是獨立同分佈的正態隨機變量,均值和變異數為
和
,則
服從自由度為
的卡方分佈。