柯尼希-費舍爾展開
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柯尼希-費舍爾展開(Cornish-Fisher expansion)是一種漸近展開式,用於逼近一個概率分佈的分位數 [1]。這個展開成立時,它可以比中心極限定理提供更精確的分位數逼近。
每一個Cornish-Fisher展開的成立與否,依賴於其相應的Edgeworth展開的正確性。Cornish-Fisher展開是其對應的Edgeworth展開的逆[2]。
這個展開以E. A. Cornish和著名統計學家R. A. 費舍爾命名,他們於1937年發明該方法[3][4]。
表達式和係數的計算方法
最簡單的定義Cornish-Fisher展開表達式的方式是待定係數法[2]。假設我們有來自某分佈 的獨立同分佈隨機變量
,現在要估計總體的某個泛函
,假設
是基於樣本的一個估計,並且對該估計,成立以下的
階Edgeworth展開
其中 和
分別是標準正態分佈的CDF和PDF,
是
的多項式,餘項表示的是一致誤差界,即它是精確分佈和逼近分佈的
距離。
那麼對任何給定的 ,樞軸變量
的下
分位數
可以由下列Cornish-Fisher展開逼近:
其中 是標準正態分佈的下
分位數,係數
從以下的式子以待定係數法逐個解出
例如,解第一個方程時,將 代回到Edgeworth展開里,
的解是(唯一的)能消去
階項的表達式。
性質
一般來說,Cornish-Fisher展開與它所來自的Edgeworth展開擁有相同的逼近階數和一致誤差項,除非該Edgeworth展開帶有跳躍點[2]。
參考文獻
- Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. (原始內容存檔 (PDF)於2017-09-21).
- Hall, Peter. Inverting an Edgeworth Expansion. The Annals of Statistics. 1983-06, 11 (2): 569–576 [2020-12-04]. ISSN 0090-5364. doi:10.1214/aos/1176346162. (原始內容存檔於2018-06-01) (英語).
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- Fisher, Sir Ronald A.; Cornish, E. A. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants. Technometrics. 1960-05-01, 2 (2): 209–225 [2020-12-04]. ISSN 0040-1706. doi:10.1080/00401706.1960.10489895. (原始內容存檔於2021-10-17).