杜哈梅積分

在振動理論中，杜哈梅積分（Duhamel's integral）是求解線性系統在任意外載激勵下響應的一種方法。

概要介紹

問題背景

受隨時間變化的外載p(t)和粘性阻尼作用下的線性單自由度（SDF）系統的運動方程是一個二階常微分方程，可寫為

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)}$

其中m為等效振子的質量，x代表系統振幅，t代表時間，c是粘性阻尼係數，k是系統剛度。

若初始靜止於平衡位置的系統在t=0時刻受到一個單位衝擊載荷作用，即p(t)是一個狄拉克δ函數δ(t)，${\displaystyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$，可以解得系統響應（稱為單位脈衝響應函數）為

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \varsigma ={\frac {c}{2m\omega _{n}}}}$稱為系統的阻尼比，${\displaystyle \omega _{n}}$是系統在無阻尼狀態下振動的固有圓頻率，${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$是系統在當前存在的阻尼c作用下的實際振動圓頻率。推廣到任意時刻τ時受到衝擊載荷${\displaystyle \delta (t-\tau )}$作用的脈衝響應為

${\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}$，${\displaystyle t\geq \tau }$

結論導出

將任意載荷p(t)視為一系列脈衝激勵的迭加：

${\displaystyle p(t)\approx \sum {p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}$

那麼根據線性性質可知，系統的響應同樣可以表示成對這一系列脈衝激勵的響應函數的迭加：

${\displaystyle x(t)\approx \sum {p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}$

在${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$時，連續求和轉化為積分，此時上面的等式是嚴格成立的

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }}$

將h(t-τ)的表達式代入即得杜哈梅積分的一般形式：

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}$

參考文獻

• 倪振華 編著，《振動力學》，西安交通大學出版社，西安，1990
• R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津 著，王光遠等 譯，《結構動力學》，科學出版社，北京，1981）
• Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
• Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986