有序交換群維基百科,自由的 encyclopedia 有序交換群係指一對 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} ,其中 Γ {\displaystyle \Gamma } 為交換群, > {\displaystyle >} 為其上的一個二元關係,且滿足如下條件: 若 a < 0 {\displaystyle a<0} ,則 − a > 0 {\displaystyle -a>0} 。 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ,則 a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} 。 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2024年6月16日) 定義 另一種等價的描述是:給定一個子集 Γ + ⊂ Γ {\displaystyle \Gamma _{+}\subset \Gamma } ,使得 Γ + {\displaystyle \Gamma _{+}} 對加法封閉,且 Γ = Γ + ∪ { 0 } ∪ − Γ + {\displaystyle \Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}} 。 若對於每個 x ∈ Γ {\displaystyle x\in \Gamma } 都存在 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 使得 n ⋅ 1 > x {\displaystyle n\cdot 1>x} ,則稱 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} 滿足阿基米德性質。 範例與基本性質 由上述公理可推出:對於每個 x ∈ Γ , x ≠ 0 {\displaystyle x\in \Gamma ,x\neq 0} 都有 x 2 > 0 {\displaystyle x^{2}>0} 。 Z , R , R ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}} 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。 若 ( Γ , > 1 ) , ( Γ 2 , > 2 ) {\displaystyle (\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})} 為有序交換群,則 Γ 1 × Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}} 配合其字典序也構成一個有序交換群。 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 。 參見 序理論 環
有序交換群係指一對 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} ,其中 Γ {\displaystyle \Gamma } 為交換群, > {\displaystyle >} 為其上的一個二元關係,且滿足如下條件: 若 a < 0 {\displaystyle a<0} ,則 − a > 0 {\displaystyle -a>0} 。 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ,則 a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} 。 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2024年6月16日) 定義 另一種等價的描述是:給定一個子集 Γ + ⊂ Γ {\displaystyle \Gamma _{+}\subset \Gamma } ,使得 Γ + {\displaystyle \Gamma _{+}} 對加法封閉,且 Γ = Γ + ∪ { 0 } ∪ − Γ + {\displaystyle \Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}} 。 若對於每個 x ∈ Γ {\displaystyle x\in \Gamma } 都存在 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 使得 n ⋅ 1 > x {\displaystyle n\cdot 1>x} ,則稱 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} 滿足阿基米德性質。 範例與基本性質 由上述公理可推出:對於每個 x ∈ Γ , x ≠ 0 {\displaystyle x\in \Gamma ,x\neq 0} 都有 x 2 > 0 {\displaystyle x^{2}>0} 。 Z , R , R ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}} 都是有序交換群且滿足阿基米德性質。 若 ( Γ , > 1 ) , ( Γ 2 , > 2 ) {\displaystyle (\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})} 為有序交換群,則 Γ 1 × Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}} 配合其字典序也構成一個有序交換群。 ( Γ , > ) {\displaystyle (\Gamma ,>)} 滿足阿基米德性質的充要條件是它可以嵌入 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 。 參見 序理論 環