摺紙公理,又稱藤田-羽鳥公理或藤田-賈斯汀公理,是摺紙數學的基本公理。假定所有摺紙操作均在理想的平面上進行,並且所有摺痕都是直線,那麼這些公理描述了通過摺紙可能達成的所有數學操作。
摺紙定理最早於1989年由雅克·賈斯汀(Jacques Justin)發現[1]。截至目前為止,共推衍了7個公理,其中,公理1-6又於1991年由日裔意大利數學家藤田文章發現[2]。定理7也於2001年由羽鳥公士郎發現。賈斯汀和羅伯特·朗(Robert J. Lang)也同樣發現了公理7。
七個公理
前6個公理又叫做藤田公理,公理7由羽鳥公士郎發現,賈斯汀和羅伯特·朗(Robert J. Lang)也同樣發現了公理7。7條公理如下:
- 給定兩點 和 ,有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
- 給定兩點 和 ,有且僅有一種方法把 折到 上。
- 給定兩直線 和 ,可以把 折到 上。
- 給定一點 和一條直線 ,有且僅有一種方法過 折出 的垂線。
- 給定兩點 和 和一條直線 ,可以沿過 的直線將 折到 上。
- 給定兩點 和 和兩直線 和 ,可以一次將 、 分別折到 、 上。
- 給定一點 和兩直線 和 ,可以沿着 的垂線將 折到 上。
公理5可能有最多2個解,公理6可能有最多3個解,而尺規作圖的公理最多只有兩個解。所以,摺紙的作圖能力要強於尺規作圖。就是說,尺規作圖相當於在解二次方程,而摺紙幾何相當於解三次方程。因而諸如三等分角、倍立方等尺規作圖無法解決的問題卻可以用摺紙幾何解決。但是公理6在實踐中需要將紙「滑動」,這其實相當於二刻尺作圖,這在標準的尺規作圖中是不被允許的。
羅伯特·朗證明了這七個公理已經是摺紙幾何的全部公理了。
給定兩點 和 ,有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
以參數方程表示的話,過2點的直線可以表示為:
給定兩點 和 ,有且僅有一種方法把 折到 上。
這條公理相當於是作線段 的垂直平分線。這可以通過以下四個步驟完成:
給定兩直線 和 ,可以把 折到 上。
這條公理相當於是找出 和 組成的角的平分線。假設 和 是 上任意兩點, 和 是 上任意兩點, 和 分別是 和 方向的單位向量:
如果兩直線不平行,它們的交點為:
其中
兩條直線所夾的一個角的平分線方向是:
摺痕的參數方程是:
這兩直線還有另一個角平分線,兩條角平分線互相垂直,且都過點 。而沿着任意一條角平分線折都能將 折到 上。但在實踐中可能因為交點的位置(比如交點在紙外)使沿着其中一條角平分線的摺疊無法實施。
如果兩條直線平行,那麼只要沿着兩直線中間的一條線(與兩直線平行,到兩直線距離相等)摺疊就可以將 折到 上
給定一點 和一條直線 ,有且僅有一種方法過 折出 的垂線。
向量 是垂直於 的單位向量,那麼摺痕的參數方程是:
給定兩點 和 和一條直線 ,可以沿過 的直線將 折到 上。
這個公理相當於找出圓和直線的交點,所以有最多2個解,最少也可能無解。這取決於直線 和以 為圓心, 到 的距離為半徑的圓的位置關係。如果直線和圓不相交則無解,相切則有1解,相交則有2解.
如果我們知道直線上兩點 和 ,那麼直線可以表示為:
如果圓心 ,半徑 。那麼這個圓可以表示為:
為了確定圓和直線的交點,將直線方程代入圓方程,得:
或者可以簡化為:
其中:
然後,只要解以下方程就能確定直線和圓的交點:
如果判別式 ,那麼方程無實數解,圓和直線沒有交點;如果辨別式等於0,那麼方程有一解,圓和直線相切;如果辨別式大於0,方程有兩解,圓和直線有兩個交點。令 和 是兩個交點(如果存在),那麼,我們可以得到線段如下:
摺痕 垂直平分 ,可以將 折到 。同樣,摺痕 垂直平分 ,可以將 折到 。只要應用公理2就可以找到垂直平分線。摺痕的參數方程是:
給定兩點 和 和兩直線 和 ,可以一次將 、 分別折到 、 上。
這個公理相當於找到同時與兩條拋物線相切的直線,等價於解一個三次方程。兩條拋物線的焦點分別是 和 ,準線分別是 和 。
給定一點 和兩直線 和 ,可以沿着 的垂線將 折到 上。
過 點作 的平行線,交 於 ,這個公理就是要找出線段 的垂直平分線。沿着這條垂直平分線折,就可以將 折到 上。
參考資料
外部連結
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