托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式

在天體物理學中，托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式（英語：Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation）是在廣義相對論框架下描述一個處在定態重力平衡狀態下的各向同性球對稱物體結構的約束方程式。它所描述的是恆星在輻射壓力和自身重力作用下的相對論性流體靜力學平衡。

理查德·托爾曼

羅拔·奧本海默

方程式形式

方程式的形式為^[1]

${\displaystyle {\frac {dP(r)}{dr}}=-{\frac {G(\rho (r)+P(r)/c^{2})(M(r)+4\pi P(r)r^{3}/c^{2})}{r^{2}(1-2GM(r)/rc^{2})}}.}$

這裏${\displaystyle r\,}$是徑向坐標，而我們用${\displaystyle \rho (r_{0})\,}$和${\displaystyle P(r_{0})\,}$分別是物質在其半徑${\displaystyle r=r_{0}\,}$處的密度和壓力。${\displaystyle M(r_{0})\,}$是在半徑${\displaystyle r=r_{0}\,}$以內物質的總質量，這是從遠處的觀察者所觀察到的它的重力場的角度而言的（所謂遠處，是指那裏的度規不受到系統本身的重力場影響）。這個質量滿足${\displaystyle M(0)=0\,}$，並且有^[1]

${\displaystyle {\frac {dM(r)}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}.}$

這個方程式的導出來自愛因斯坦重力場方程式在一個廣義的定態且球對稱度規（不一定是史瓦西度規）條件下的解，具體討論的導出過程可參考這裏。這裏簡單敘述為，對於一個滿足托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式的解，度規具有如下形式^[1]

${\displaystyle ds^{2}=e^{\nu (r)}c^{2}dt^{2}-(1-2GM(r)/rc^{2})^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2}),}$

其中${\displaystyle \nu (r)\,}$滿足約束條件^[1]

${\displaystyle {\frac {d\nu (r)}{dr}}=-{\frac {2}{P(r)+\rho (r)c^{2}}}{\frac {dP(r)}{dr}}.}$

在托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式下求得的中子星質量上限：紅色曲線表示的是一個密度為${\displaystyle 10^{15}\mathrm {g/cm^{3}} \,}$的各向同性球對稱中子星質量與其半徑的關係，藍色曲線表示它的質量上限，其中表示的係數4/9的來源請參考這裏

當系統的狀態方程式（EOS，它建立了密度與壓力的關係）${\displaystyle F(\rho ,P)=0\,}$確定後，托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式能夠完全決定這個球對稱且各向同性的系統在重力平衡狀態下的結構。注意到如果${\displaystyle 1/c^{2}\,}$項可忽略，托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式會退化成牛頓力學的流體靜力學方程式，這是當相對論修正不重要時求解球對稱且各向同性的系統在重力平衡狀態下的結構所需要的方程式。托爾曼-奧本海默-沃爾科夫方程式也因此特別叫做恆星的流體靜力學平衡方程式。

如果這個方程式被用來描述一個真空中的束縛星體，在邊界上需要應用零壓力條件${\displaystyle P(r)=0\,}$以及條件${\displaystyle e^{\nu (r)}=1-2GM(r)/rc^{2}\,}$。第二個邊界條件是因為度規在邊界上需要連續，並且對真空中的愛因斯坦方程式具有唯一的定態球對稱解——史瓦西度規：

${\displaystyle ds^{2}=(1-2GM_{0}/rc^{2})c^{2}dt^{2}-(1-2GM_{0}/rc^{2})^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2})\,}$

這裏${\displaystyle M_{0}\,}$是星體的總質量，這仍然是從遠處的觀察者所觀察到的它的重力場的角度而言的。如果星體的邊界處於${\displaystyle r\,}$，度規的連續性以及${\displaystyle M(r)\,}$的定義都要求

${\displaystyle M_{0}=M(r_{B})=\int _{0}^{r_{B}}4\pi \rho (r)r^{2}\,dr.}$

但從另一方面看，如果考慮系統的重力場作用下的度規，將星體的密度在對應的體元下積分，將得到一個更大的質量函數

${\displaystyle M_{1}=\int _{0}^{r_{B}}{\frac {4\pi \rho (r)r^{2}}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\,dr.}$

這兩個質量的差別為

${\displaystyle \delta M=\int _{0}^{r_{B}}4\pi \rho (r)r^{2}((1-2GM(r)/rc^{2})^{-1/2}-1)\,dr,}$

這個值是大於零的，體現了星體因重力作用產生的束縛能量，也就是將星體內部的物質打散後拋到無限遠處所要消耗的能量。

歷史

托爾曼在1934年和1939年間分析了球對稱度規^[2][3]而這個方程式的形式則是由奧本海默和沃爾科夫藉助托爾曼的工作在他們1939年的論文《在巨大的中子核上》中推導出的^[1]。在這篇論文中，他們採用了一個中子組成的簡併費米氣體模型的狀態方程式來計算中子星質量的上限，其結果約為0.7倍太陽質量。由於他們所用的狀態方程式對中子星而言並不理想，這個得到的極限應該是錯誤的，現代對這一極限的估計為1.5至3倍太陽質量。^[4]

托爾曼-奧本海默-沃爾科夫極限

主條目：奧本海默極限

托爾曼-奧本海默-沃爾科夫極限（Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit）即是中子星的質量上限，類似於白矮星質量上限的錢德拉塞卡極限。如上節所述，奧本海默和沃爾科夫得到的中子星質量上限約為0.7倍太陽質量，這在今天看來應該是錯誤的，當今的結果在1.5至3倍太陽質量之間^[5]。對於質量小於此極限的中子星，支持星體的內部壓力來自中子與中子之間的強相互作用以及中子本身的量子簡併壓力；而對於質量大於此極限的中子星會在自身重力的作用下崩潰，從而塌縮為一個黑洞，理論上在其他途徑的內部壓力支持下還可能成為其他形式的星體（例如在夸克簡併壓力的支持下塌縮為夸克星）。但由於對這些理論上的夸克簡併物質了解相對中子簡併物質更少，一般天體物理學家相信，除非有實際觀測的反例證實，中子星在超過這一極限時都會直接塌縮為黑洞。

一個由恆星塌縮成的黑洞必須具有大於托爾曼-奧本海默-沃爾科夫極限的質量。理論預言由於恆星演化中的質量損失，一個具有太陽那樣金屬量的孤立恆星塌縮而成的黑洞應該具有不超過10倍左右的太陽質量^[6]。在錢德拉X射線天文台的實驗觀測中，有相當數量的X射線雙星由於它們的巨大質量、較低的亮度以及X射線光譜被認為是恆星質量黑洞，它們的質量據估計在3倍至20倍太陽質量之間^[7][8]。

參見

• 流體靜力學
• 重力塌縮

參考資料

1. On Massive Neutron Cores （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, Physical Review 55, 374 (February 15, 1939), pp. 374–381.
2. Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Richard C. Tolman, Proceedings of the National Academy of Sciences 20, 3 (March 15, 1934), pp. 169–176.
3. Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Richard C. Tolman, Physical Review 55, 374 (February 15, 1939), pp. 364–373.
4. The maximum mass of a neutron star （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, I. Bombaci, Astronomy and Astrophysics 305 (January 1996), pp. 871–877.
5. Bombaci, I. The maximum mass of a neutron star. Astronomy and Astrophysics. 1996, 305: 871–877 [2020-10-10]. （原始內容存檔於2019-03-30）.
6. The evolution and explosion of massive stars （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, S. E. Woosley, A. Heger, and T. A. Weaver, Reviews of Modern Physics 74, 4 (October 2002), pp. 1015–1071.
7. Black Hole Binaries, Jeffrey E. McClintock and Ronald A. Remillard, arXiv:astro-ph/0306213v4.
8. Observational evidence for stellar-mass black holes, Jorge Casares, arXiv:astro-ph/0612312v1.