態射

態射（英語：Morphism）在數學中是指兩個數學結構之間保持結構的一種映射。

許多當代數學領域中都有態射的身影。例如，在集合論中，態射就是函數；在群論中，它們是群同態；而在拓撲學中，它們是連續函數；在泛代數（universal algebra）的範圍，態射通常就是同態。

對態射和它們定義於其間的結構（或物件）的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中，態射不必是函數，而通常被視為兩個物件（不必是集合）間的箭頭。不像映射一個集合的元素到另外一個集合，它們只是表示域（domain）和對應域（codomain）間的某種關係。

儘管態射的本質是抽象的，多數人關於它們的直觀（事實上包括大部分術語）來自於具體範疇的例子，在那裏物件就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。

定義

一個範疇C由兩個類給定：一個物件的類和一個態射的類。

有兩個操作定義在每個態射上，域（domain，或源）和對應域（codomain，或目標）。

態射經常用從域到他們的對應域的箭頭來表示，例如若一個態射f域為X而對應域為Y，它記為f : X → Y。所有從X到Y的態射的集合記為hom_C(X,Y)或者hom(X, Y)。（有些作者採用Mor_C(X,Y)或Mor(X, Y)）。

對於任意三個物件X，Y，Z，存在一個二元運算hom(X, Y)×hom(Y, Z) → hom(X, Z)稱為複合。f : X → Y和g : Y → Z的複合記為${\displaystyle g\circ f}$或gf（有些作者採用fg）。態射的複合經常採用交換圖來表示。例如

態射必須滿足兩條公理：

• 存在恆等態射：對於每個物件X，存在一個態射id_X : X → X稱為X上的恆等態射，使得對於每個態射f : A → B我們有${\displaystyle {\rm {id}}_{B}\circ f=f=f\circ {\rm {id}}_{A}}$。
• 滿足結合律：${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$在任何操作有定義的時候。

當C是一個具體範疇的時候，複合只是通常的函數複合，恆等態射只是恆等函數，而結合律是自動滿足的。（函數複合是結合的。）

注意域和對應域本身是決定態射的資訊的一部分。例如，在集合的範疇，其中態射是函數，兩個函數可以作為有序對的集合相等，但卻有不同的對應域。這些函數從範疇論的目的來說被視為不同。因此，很多作者要求態射類hom(X, Y)是不交的。實際上，這不是一個問題，因為如果他們不是不交的，域和對應域可以加到態射上，（例如，作為一個有序三元組的第二和第三個分量），使得它們不交（互斥，disjoint）。

態射的類型

• 同構（isomorphism）:令f : X → Y為一個態射。若存在態射g : Y → X使得${\displaystyle f\circ g={\rm {id}}_{Y}}$和${\displaystyle g\circ f={\rm {id}}_{X}}$成立，則f稱為一個同構。g稱為f的逆態射，逆態射g如果存在就是唯一的，而且顯而易見g也是一個同構，其逆為f。兩個物件之間有一個同構，那麼這兩個物件稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。^[1][2]

• 滿同態（英語：epimorphism）（epimorphism）：令態射f : X → Y，如果對於所有Y → Z的態射g₁，g₂有 ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\Rightarrow g_{1}=g_{2}}$，稱態射f為滿同態。這也稱為epi或epic.具體範疇中的滿同態通常是滿射（surjective）函數，雖然並不總是這樣。^[3][2]

• 單同態（英語：monomorphism）（monomorphism）：令態射f : X → Y，如果對於所有Z → X的態射g₁，g₂，${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}}$成立，則稱f為單同態。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射（injective）函數。^[4][2]

• 雙同態（bimorphism）：若f既是滿同態也是單同態，則稱f為雙同態（bimorphism）。

注意每個同構都是雙同態，但不是每個雙同態都是同構。例如，交換環的範疇中，包含映射Z → Q是一個雙同態，但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構，則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如，集合是一個平衡範疇。

• 自同態（endomorphism）：任何態射f : X → X稱為X上的一個自同態。

• 自同構（automorphism）：若一個自同態也是同構的，那麼稱之為自同構。

• 若f : X → Y和g : Y → X滿足${\displaystyle f\circ g={\rm {id}}_{Y}}$可是證明f是滿的而g是單的，而且${\displaystyle g\circ f}$ : X → X是冪等的。這種情況下，f和g稱為分割（split）. f稱為g的收縮（retraction）而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射，或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。

例子

• 在泛代數中研究的具體範疇（例如群，環，模，等等），態射稱為同態。術語同構，滿同態，單同態，自同態，和自同構也都適用於這個特殊範圍。
• 在拓撲空間範疇，態射是連續函數，而同構稱為同胚。
• 在光滑流形範疇中，態射是光滑函數而同構稱為微分同胚。
• 函子可以視為小範疇的範疇中的態射。
• 在函子範疇中，態射是自然轉換。

更多的例子參看範疇論條目。

參看

• 零態射
• 正規態射

腳注

1. isomorphism - 同構 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，國家教育研究院
2. Group Homomorphisms （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），大學基礎代數，李華介 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），國立台灣師範大學數學系
3. epimorphism - 蓋同態 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，國家教育研究院
4. monomorphism - 嵌型同態；單同態 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2013-10-20.，雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網，國家教育研究院