微分代數

微分代數（英語：Differential algebra）是代數學的一個分支，在代數中裝備一個導子就可以得到微分代數。此外，在數學中，微分環、微分域和微分代數是環、域、代數裝備一個導子，一個滿足萊布尼茲乘積法則的一元函數。微分域的一個自然例子是複數域上的單變元有理函數 C(t)，其導子是關於 t 的微分。

微分環

一個微分環 R 是裝備一個或多個導子的環

${\displaystyle \partial :R\to R}$

使得每個導子滿足萊布尼茲乘積法則：

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),}$

對任何 ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$。注意環可能不交換，從而稍微標準的交換環情形的乘積法則 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果 ${\displaystyle M:R\times R\to R}$ 是環上的乘法，乘積法則是恆等式

${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).\,}$

這裏 ${\displaystyle f\otimes g}$ 表示函數將二元組 ${\displaystyle (x,y)}$ 映到二元組 ${\displaystyle (f(x),g(y))}$。

微分域

一個微分域是帶有一個導子的域 K。微分域 DF 的理論，由通常域公理與另外關於導子的兩個公理。和上面一樣，導子在域的元素上必須服從乘積法則，或萊布尼茲法則，這是導子稱為導子的原因。即對域中任何兩個元素 u 與 v 有

${\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,}$

由於域上的乘法可交換。導子也必須對域加法有分配律

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,}$

如果 K 是一個微分域則常數域 ${\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}}$。

微分代數

域 K 上一個微分代數是一個 K-代數 A，其中的導子與域可交換。即對所有 ${\displaystyle k\in K}$ 與 ${\displaystyle x\in A}$ 有

${\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.\,}$

在不用指標記法中，如果 ${\displaystyle \eta \colon K\to A}$ 是定義了環上數量乘法的環同態，則有

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).\,}$

同上導子對代數乘法必須服從萊布尼茲法則，以及對加法線性。從而，對所有 ${\displaystyle a,b\in K}$ 與 ${\displaystyle x,y\in A}$ 有

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,}$

以及

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,}$

李代數上的導子

李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 上一個導子是一個線性 ${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ 滿足萊布尼茲法則：

${\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,}$

對任何 ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},\operatorname {ad} (a)}$ 是 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 上一個導子，這由雅可比恆等式可得。任何這樣的導子稱為內導子。

例

如果 ${\displaystyle A}$ 有單位，則 ∂(1) = 0 這是因為 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如，在特徵零的微分域中，有理數總是常數域的子域。

任何域可以簡單地理解為一個常數微分域。

域 Q(t) 具有惟一的結構成為一個微分域，由令 ∂(t) = 1 確定：域公理與導子的公理奇異保證導子是關於 t 的導數。例如，由乘法與萊布尼茲法則的交換性有 ∂(u²) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。

微分域 Q(t) 對微分方程

${\displaystyle \partial (u)=u}$

沒有解。但擴充成包括函數 e^t 的更大的微分域，則這個方程有解。對任何微分方程系統有解的微分域稱為微分閉域。這樣的域存在，儘管它們不是作為代數或幾何對象自然出現的。任何微分域（有界基數）嵌入一個大微分閉域。微分域是微分伽羅瓦理論中的研究對象。

自然出現的導子例子是偏導數、李導數、Pincherle導數（英語：Pincherle derivative）與關於這個代數中一個元素的交換子。所有這些例子是密切聯繫的，導子的概念將它們統一起來。

偽微分算子環

微分環和微分域經常通過研究它們上面的偽微分算子來研究。

這是環

${\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}$

這個環上的乘法定義為

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}$

這裏 ${\displaystyle {m \choose k}}$ 是二項式係數。注意到恆等式

${\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}$

這裏利用了恆等式

${\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}$

與

${\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}$

另見

• 微分伽羅瓦定理（英語：Differential Galois theory）
• 凱勒微分（英語：Kähler differential）
• 微分閉域（英語：Differentially closed field）
• D-模是有多個微分算子作用在它上面的代數結構。
• 微分分次代數是附加分次的一個微分代數。
• 算術導數

參考文獻

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

外部連結

• David Marker's home page （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） has several online surveys discussing differential fields.