併運算

在數學中，集合上的併（英語：join）可以用兩種方式定義：關於這個集合上的偏序的唯一上確界（最小上界），假定這種上確界存在的話；或者是滿足冪等律的交換結合二元運算。在任何一個情況下，這個集合與併運算一起是併半格。兩個定義生成等價的結果，除了偏序方式有可能直併的定義更一般的元素的集合的併之外。最常見到併運算的領域是格。

${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的併通常被指示為 ${\displaystyle x\lor y}$。

偏序定義

設 A 是帶有偏序 ${\displaystyle \leq }$ 的一個集合，並設 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是 A 中的兩個元素。A 中的一個元素 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的併（或最小上界或上確界），如果滿足下列兩個條件:

1. ${\displaystyle x\leq z}$ 且 ${\displaystyle y\leq z}$ （就是說，${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的一個上界）

2. 對於 A 中任何 ${\displaystyle w}$，使得 ${\displaystyle x\leq w}$ 且 ${\displaystyle y\leq w}$，有着 ${\displaystyle z\leq w}$ （就是說，${\displaystyle z}$ 小於任何其他 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的上界）。

如果 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 有併，則實際上它是唯一的，因為如果 ${\displaystyle z}$ 和 ${\displaystyle z'}$ 都是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的最小上界，則 ${\displaystyle z\leq z'\leq z}$，因此確實 ${\displaystyle z=z'\,}$。如果併存在，它被指示為 ${\displaystyle x\lor y}$。A 中的某些對元素可能缺乏併，要麼因為它們根本就沒有上界，要麼因為它們的上界沒有一個小於所有其他的。如果所有的元素對都有併，則這個併實際上是在 A 上的二元運算，並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對於 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ 和 ${\displaystyle z}$ 有

a. ${\displaystyle x\land y=y\land x}$ (交換律)，

b. ${\displaystyle x\land (y\land z)=(x\land y)\land z}$ (結合律)，

c. ${\displaystyle x\land x=x}$ (冪等律)。

泛代數定義

通過定義，在集合 A 上的二元運算 ${\displaystyle \lor }$ 是併，如果它滿足上述三個條件 a, b 和 c。有序對 (A,${\displaystyle \lor }$) 就是併半格。此外，我們可以定義在 A 上的二元關係 ${\displaystyle \leq }$，通過聲稱 ${\displaystyle x\leq y}$ 若且唯若 ${\displaystyle x\lor y=y}$。事實上，這個關係是在 A 上的偏序。實際上，對於 A 中任何元素 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ 和 ${\displaystyle z}$ 有

${\displaystyle x\leq x}$，因為 ${\displaystyle x\lor x=x}$，通過公理 c；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$ 且 ${\displaystyle y\leq x}$，則 ${\displaystyle y=x\lor y=y\lor x=x}$，通過公理 a；

如果 ${\displaystyle x\leq y}$ 且 ${\displaystyle y\leq z}$，則 ${\displaystyle x\leq z}$，因為 ${\displaystyle x\lor z=x\lor (y\lor z)=(x\lor y)\lor z=y\lor z=z}$，通過公理 b。

兩個定義的等價性

如果 (A,${\displaystyle \leq }$) 是偏序集合，使得 A 中每對元素都有併，則確實 ${\displaystyle x\lor y=y}$ 若且唯若 ${\displaystyle x\leq y}$，因為在後者情況下 ${\displaystyle y}$ 的確是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的上界，並且因為明顯的 ${\displaystyle y}$ 是最小上界若且唯若它是上界。因此，以泛代數方式的併定義的偏序一致於最初的偏序。

反過來說，如果 (A,${\displaystyle \lor }$) 是併半格，併用泛代數的方式定義偏序 ${\displaystyle \leq }$，對於 A 中某些元素 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 有 ${\displaystyle z=x\lor y}$，則 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 關於 ${\displaystyle \leq }$ 的最小上界，因為 ${\displaystyle x\lor z=(x\lor x)\lor y=z\;\Rightarrow \;x\leq z}$，類似的 ${\displaystyle y\leq z}$，並且如果 ${\displaystyle w}$ 是 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的另一個上界，則 ${\displaystyle x\lor w=y\lor w=w}$，因而 ${\displaystyle z\lor w=(x\lor y)\lor w=x\lor (y\lor w)=x\lor w=w}$。所以最初的併定義的偏序定義的併一致於最初的併。

換句話說，這兩種方式生成本質上等價的概念，集合配備了二元關係和二元運算二者，使得每個結構都有另一個確定，而且分別滿足關於偏序或併的那些條件。

一般子集的併

如果 (A,${\displaystyle \lor }$) 是併半格，則併可以被擴展為任何非空有限集合的良好定義的併，通過在迭代二元運算中描述的技術。可作為替代的，併定義或定義自偏序，A 的某個子集的確有關於它的上確界。對於非空有限子集，這兩種方式生成同樣的結果，因此任何一個都可以作為併的定義。在 A 的每個子集都有併的情況下，實際上 (A,${\displaystyle \leq }$) 是完全格；詳情請參見完全性 (序理論)。

參見

• 上確界
• 半格
• 格 (數學)
• 偏序集合
• 交運算