在微分幾何 中,一個曲面
S
{\displaystyle S}
的平均曲率 (mean curvature )
H
{\displaystyle H}
,是一個「外在的」彎曲 測量標準,局部地描述了一個曲面嵌入 周圍空間(比如二維曲面嵌入三維歐幾里得空間 )的曲率。
這個概念由索菲·熱爾曼 在她的著作《彈性理論 》中最先引入[ 1] [ 2] 。
令
p
{\displaystyle p}
是曲面
S
{\displaystyle S}
上一點,考慮
S
{\displaystyle S}
上過
p
{\displaystyle p}
的所有曲線
C
i
{\displaystyle C_{i}}
。每條這樣的
C
i
{\displaystyle C_{i}}
在
p
{\displaystyle p}
點有一個伴隨的曲率
K
i
{\displaystyle K_{i}}
。在這些曲率
K
i
{\displaystyle K_{i}}
中,至少有一個極大值
κ
1
{\displaystyle \kappa _{1}}
與極小值
κ
2
{\displaystyle \kappa _{2}}
,這兩個曲率
κ
1
,
κ
2
{\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}
稱為
S
{\displaystyle S}
的主曲率 。
p
∈
S
{\displaystyle p\in S}
的平均曲率 是兩個主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999 ,第3卷,第2章),由歐拉公式 其實也是所有曲率的平均值[ 3] ,故有此名。
H
=
1
2
(
κ
1
+
κ
2
)
.
{\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}
利用第一基本形式 與第二基本形式 的係數,平均曲率表示為:
H
=
L
G
−
2
M
F
+
N
E
2
(
E
G
−
F
2
)
,
{\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,}
這裏
E
,
F
,
G
{\displaystyle E,F,G}
是第一基本形式的係數,
L
,
M
,
N
{\displaystyle L,M,N}
為第二基本形式的係數。
平均曲率可推廣為更一般情形 (斯皮瓦克 1999 ,第4卷,第7章),一個超曲面
T
{\displaystyle T}
的平均曲率為:
H
=
1
n
∑
i
=
1
n
κ
i
.
{\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .}
更抽象地說,平均曲率是第二基本形式 (或等價地,形算子 )的跡
×
1
n
{\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}
。
另外,平均曲率
H
{\displaystyle H}
可以用共變導數
∇
{\displaystyle \nabla }
寫成
H
n
→
=
g
i
j
∇
i
∇
j
X
,
{\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,}
這裏利用了高斯-Weingarten 關係,
X
(
x
,
t
)
{\displaystyle X(x,t)}
是一族光滑嵌入超曲面,
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
為單位法向量 ,而
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
是度量張量 。
一個曲面是極小曲面 若且唯若 平均曲率為零。此外,平面
S
{\displaystyle S}
平均曲率滿足一個熱型方程 稱為平均曲率流 方程。
有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的跡(而並未
×
1
n
{\displaystyle \times {\frac {1}{n}}}
)。然而,這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。
對 3 維空間中的曲面,平均曲率與曲面的單位法向量 相關:
2
H
=
∇
⋅
n
^
,
{\displaystyle 2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,}
這裏法向量的選取影響曲率的正負號。曲率的符號取決於法向量的方向:如果曲面「遠離」法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立,只要能夠計算單位法向量的散度 。
對曲面是兩個坐標的函數定義的曲面,比如
z
=
S
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=S(x,y)}
,使用向下的法向量平均曲率(的兩倍)表示為
2
H
=
∇
⋅
[
∇
(
S
−
z
)
|
∇
(
S
−
z
)
|
]
=
∇
⋅
[
∇
S
1
+
(
∇
S
)
2
]
=
[
1
+
(
∂
S
∂
x
)
2
]
∂
2
S
∂
y
2
−
2
∂
S
∂
x
∂
S
∂
y
∂
2
S
∂
x
∂
y
+
[
1
+
(
∂
S
∂
y
)
2
]
∂
2
S
∂
x
2
[
1
+
(
∂
S
∂
x
)
2
+
(
∂
S
∂
y
)
2
]
3
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}}
如果曲面還是軸對稱 的,滿足
z
=
S
(
r
)
{\displaystyle z=S(r)}
,則
2
H
=
∂
2
S
∂
r
2
[
1
+
(
∂
S
∂
r
)
2
]
3
2
+
∂
S
∂
r
r
[
1
+
(
∂
S
∂
r
)
2
]
1
2
{\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ }
在流體力學 中使用的另外一種定義是不要因子 2:
H
f
=
(
κ
1
+
κ
2
)
.
{\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .}
這出現於楊-拉普拉斯公式 中,平衡球狀小滴內部的壓力等於表面張力 乘以
H
f
{\displaystyle H_{f}}
;兩個曲率等於小滴半徑的倒數
κ
1
=
κ
2
=
r
−
1
{\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}}
。
Costa 極小曲面示意圖
一個極小曲面 是所有點的平均曲率為零的曲面。經典例子有懸鏈曲面 、螺旋面 、Scherk 曲面 與Enneper 曲面 。新近發現的包括Costa極小曲面 (1982年)與Gyroid (1970年)。
極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數的曲面,球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf的一個問題為是否存在曲率為非零常數的非球面閉曲面。球面 是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點 的曲面;如果允許自交,則存在平均曲率為非零常數的閉曲面,Wente在1986年曾構造出這樣的自交環面(陳維桓 2006 ,4.6節)。
高斯曲率
平均曲率流
逆平均曲率流
面積公式第一變分
斯皮瓦克, 米高 , A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .
陳維桓, 微分几何, 北京大學出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9