常數函數

在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數${\displaystyle f(x)=4}$，因為${\displaystyle f}$映射任意的值到4，因此${\displaystyle f}$是一個常數。更一般地，對一個函數${\displaystyle f:A\rightarrow B}$，如果對${\displaystyle A}$內所有的${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，都有${\displaystyle f(x)=f(y)}$，那麼，${\displaystyle f}$是一個常數函數。其中${\displaystyle f(x)=0}$的常數函數稱為零函數，圖形為x軸；值不為零的常數函數則可稱為零次函數，圖形為一平行x軸的水平線。

請注意，每一個空函數（定義域為空集的函數）無意義地滿足上述定義，因為${\displaystyle A}$中沒有${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$使${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle f(y)}$不同。然而有些人^[誰？]認為，如果包括空函數的話，那麼常數函數將更容易定義。

對於多項式函數，一個非零常數函數稱為一個零次多項式，而零函數對應只能叫零多項式。

性質

常數函數可以通過與複合函數的關係，從兩個途徑進行描述。

下面這些是等價的：

1. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$是一個常數函數。
2. 對所有函數${\displaystyle g,h:C\to A,f\circ g=f\circ h}$（「${\displaystyle \circ }$」表示複合函數）。
3. ${\displaystyle f}$與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。

上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義，一個函數的導函數度量自變量的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的導函數是零。例如：

• 如果${\displaystyle f}$是一個定義在某一區間、變量為實數的實數函數，那麼當且僅當${\displaystyle f}$的導函數恆為零時，${\displaystyle f}$是常數。

對預序集合間的函數，常數函數是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如${\displaystyle f}$的定義域是一個格，那麼${\displaystyle f}$一定是一個常數函數。

常數函數的其他性質包括：

• 任一定義域和對應域相同的常數函數是等冪的。
• 任一拓撲空間上的常數是連續的。

在一個連通集合中，當且僅當f是常數時，它是局部常數。

參見

• 代數式
• 因式分解

參考文獻

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., 範疇論（Category Theory）, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
• 常数函数（Constant function）. PlanetMath.