導來集

在數學，特別是點集拓撲學中，拓撲空間的子集${\displaystyle S}$的導來集（導出集合）是${\displaystyle S}$的所有極限點的集合。它通常記為 ${\displaystyle S'}$。

這個概念是格奧爾格·康托爾在1872年引入的，他開發集合論很大程度上就是為了研究在實直線上的導出集合。

導來集公理

導來集是拓撲學的基礎概念之一，可以用來定義拓撲空間。 給定集合${\displaystyle X}$，考慮一個定義在${\displaystyle X}$的冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的運算${\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$，若${\displaystyle d}$滿足以下導來集公理，則稱${\displaystyle d}$為導集運算：

• D₁：${\displaystyle d(\emptyset )=\emptyset }$
• D₂：${\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}$
• D₃：${\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}$
• D₄：${\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}$

${\displaystyle d(A)}$稱為${\displaystyle A}$的導來集。

從導來集出發可以定義各種拓撲的基礎概念：

• 閉集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$是閉集，當且僅當${\displaystyle d(A)\subseteq A}$。（從此處可以看到和閉集公理的等價性，從而可以等價地定義拓撲空間。）
• 同胚：拓撲空間${\displaystyle T_{1}(X_{1},\tau _{1})}$、${\displaystyle T_{1}(X_{2},\tau _{2})}$同胚，當且僅當存在對射${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X_{1})\to {\mathcal {P}}(X_{2})}$，使得${\displaystyle \forall A\subseteq X_{1},\ f(d(A))=d(f(A))}$。

相關概念

聚點

${\displaystyle d(A)}$中的點稱為${\displaystyle A}$的聚點。

性質

• ${\displaystyle S,T\subseteq X}$，若${\displaystyle S\cap T=\emptyset }$，${\displaystyle S\cap d(T)=\emptyset }$，${\displaystyle d(S)\cap T=\emptyset }$。則稱${\displaystyle S}$和${\displaystyle T}$是分離的。（注意：${\displaystyle d(S)\cap d(T)}$不一定為${\displaystyle \emptyset }$）。
• 集合${\displaystyle S}$被定義為完美的，如果${\displaystyle S=d(S)}$。等價地說，完美集合是沒有孤點的閉集。完美集合又稱為完備集合。
• Cantor-Bendixson定理聲稱任何波蘭空間都可以寫為可數集合和完美集合的併集。因為任何波蘭空間的${\displaystyle G_{\delta }}$子集都再次是波蘭空間，這個定理還證明了任何波蘭空間的${\displaystyle G_{\delta }}$子集都是可數集合和完美集合的併集。
• 拓撲空間${\displaystyle X}$是T₁ 空間，當且僅當${\displaystyle \forall x\in X,\ d(\{x\})=\emptyset }$。

引用

• Kechris, A. Classical Descriptive Set Theory Graduate Texts in Mathematics 156. Springer. 1995. ISBN 0-387-94374-9 ISBN 3-540-94374-9 （英語）.
• Sierpiński, Wacław F.; translated by Krieger, C. Cecilia (1952). General Topology. University of Toronto Press.

參見

• 極限點
• 導來代數