字度量

群論中，字度量是在群上的一種度量，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群${\displaystyle G}$的生成集${\displaystyle S}$，每個元素都可以用${\displaystyle S}$寫成很多個不同的字。例如設${\displaystyle G}$是所有整數組成的群${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$，取${\displaystyle S=\{\pm 1\}}$，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個${\displaystyle S}$的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就是字母的數目，如colour的長度是6，color的長度是5。

兩個元素${\displaystyle g,h\in G}$的字度量${\displaystyle d_{S}(g,h)}$定義為${\displaystyle g^{-1}h}$以${\displaystyle S}$表示成的最短的字的長度。

兩個元素的字度量，等於凱萊圖${\displaystyle \Gamma (G,S)}$中這兩個元素的距離。^[1]

例子

考慮整數群${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$。若取生成集合${\displaystyle S=\{\pm 1\}}$，那麼兩個整數${\displaystyle m,n}$之間的字度量是${\displaystyle d_{S}(m,n)=\left|-m+n\right|}$。

若取另一個生成集合${\displaystyle S'=\{\pm 2,\pm 3\}}$，則${\displaystyle m}$和${\displaystyle m+1}$之間的字度量${\displaystyle d_{S'}(m,m+1)=2}$，因為${\displaystyle -m+(m+1)}$用${\displaystyle S'}$所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的長度為2。

性質

從字度量的定義可以看出，群於自身的左乘作用${\displaystyle k\cdot g\mapsto kg}$下，字度量不變：

${\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(kg,kh)}$

（因為${\displaystyle (kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h}$。）

一個群${\displaystyle G}$給出不同的生成集合，對應的字度量可以不同。不過，如果${\displaystyle G}$是有限生成的，則兩個有限的生成集合${\displaystyle S_{1},S_{2}}$所給出的字度量是雙利普希茨的，即存在常數${\displaystyle C>1}$使得對任何${\displaystyle g,h\in G}$都有

${\displaystyle {\frac {1}{C}}d_{S_{1}}(g,h)\leq d_{S_{2}}(g,h)\leq Cd_{S_{1}}(g,h)}$

證明如下：${\displaystyle S_{1}}$中的各元素用${\displaystyle S_{2}}$表示成的字，其中最長的長度設為${\displaystyle C_{1}}$。那麼每個用${\displaystyle S_{1}}$表示成的字，都可用${\displaystyle S_{2}}$改寫成不超過${\displaystyle C_{1}}$倍的長度的字。故此

${\displaystyle d_{S_{2}}(g,h)\leq C_{1}d_{S_{1}}(g,h)}$

同樣地，有

${\displaystyle d_{S_{1}}(g,h)\leq C_{2}d_{S_{2}}(g,h)}$

取${\displaystyle C}$為${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{2}}$的較大者，得出不等式。

參考

1. É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.