大扭稜十二面截半二十面體

大扭稜十二面截半二十面體（great snub dodecicosidodecahedron）是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和24個正五角星組成^[1]，索引為U₆₄，對偶多面體為大六角六十面體（英語：Great hexagonal hexecontahedron）^[2]，具有二十面體群對稱性（英語：Icosahedral symmetry）^[3][1][4]，並且與扭稜二十面化截半大十二面體拓樸同構^[5]，同時可以視為是大二重斜方截半二十面體的刻面（英語：Faceting）多面體^[5]。

大扭稜十二面截半二十面體

類別	均勻星形多面體
對偶多面體	大六角六十面體（英語：Great hexagonal hexecontahedron）
識別
名稱	大扭稜十二面截半二十面體 great snub dodecicosidodecahedron great snub dodekicosidodecahedron
參考索引	U64, C80, W115
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gisdid
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	| 5/3 5/2 3
性質
面	104
邊	180
頂點	60
歐拉特徵數	F=104, E=180, V=60 （χ=-16）
組成與佈局
面的種類	(20+60)個正三角形 (12+12)個正五角星
頂點圖	3.3.3.5/2.3.5/3
對稱性
對稱群	Ih, [5,3]+, 532
圖像
3.3.3.5/2.3.5/3 （頂點圖） 大六角六十面體（英語：Great hexagonal hexecontahedron） （對偶多面體）
閱 論 編

性質

大扭稜十二面截半二十面體共由104個面、180條邊和60個頂點組成^[3]。在其104個面中，有80個正三角形面和24個正五角星面^[1]，當中的80個正三角形面可以分成20個一般的正三角形面和60個在扭稜變換過程所產生的正三角形面^[6]；其24個正五角星面可以分成12個一般的正五角星面（施萊夫利符號：{5/2}）和12個反向相接的正五角星面（施萊夫利符號：{5/3}）^[7]。在其60個頂點中，每個頂點都是2個正五角星面和4個正三角形面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以反向相接的正五角星、正三角形、正五角星、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/3.3.5/2.3.3.3)^[8]或(3.5/3.3.5/2.3.3)^[7][3]來表示。

表示法

大扭稜十二面截半二十面體在考克斯特—迪肯符號（英語：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為^[9]（s5/3s5/2s3*a）^[10]，在威佐夫記號中可以表示為| 5/3 5/2 3^[11][3]。

尺寸

若大扭稜十二面截半二十面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為2平方根的倒數^[5]或2平方根的一半：^[2][1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0.70710678}$

邊長為單位長的大扭稜十二面截半二十面體，中分球半徑為二分之一：^[1]

${\displaystyle R_{M}={\frac {1}{2}}=0.5}$

由於球體無法相切於大扭稜十二面截半二十面體所有面上，因此大扭稜十二面截半二十面體不存在內切球，但可以分別計算正三角形面之面相切球的半徑與正五角星面之面相切球的半徑。^[1]

邊長為單位長的大扭稜十二面截半二十面體正三角形面之面相切球的半徑為六的平方根（英語：Square root of 6）的六分之一：^[1]

${\displaystyle R_{}}$_{正三角形面}${\displaystyle \,={\frac {\sqrt {6}}{6}}\approx 0.40824829}$

邊長為單位長的大扭稜十二面截半二十面體正五角星面之面相切球的半徑為：^[1]

${\displaystyle R_{}}$_{正五角星面}${\displaystyle \,={\frac {\sqrt {10{\sqrt {5}}}}{10}}\approx 0.4728708045}$

二面角

大扭稜十二面截半二十面體共有三種二面角，分別為兩種正五角星面和正三角形面的二面角以及一種正三角形面和正三角形面的二面角。^[1]

其中一種正五角星面和正三角形面的二面角角度約為16.3度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}+4{\sqrt {5\left({\sqrt {5}}-2\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.2845528927\approx 16.303679801^{\circ }}$

而另一種正五角星面和正三角形面的二面角角度約為125.77度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}-4{\sqrt {5\left({\sqrt {5}}-2\right)}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.19518612896\approx 125.7749004353^{\circ }}$

另外一種二面角為正三角形面和正三角形面的二面角，其角度為負三分之一的反餘弦值，約為109.47度：^[1]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.910633236249\approx 109.471220634^{\circ }}$

相關多面體

大扭稜十二面截半二十面體與大二重斜方截半二十面體共用相同的頂點、邊、20個正三角形面和其所有的五角星面^[5]，大扭稜十二面截半二十面體也與大二重扭稜二重斜方十二面體共用60個正三角形面。

其也與二十複合八面體（英語：Compound of twenty octahedra）共用相同的邊佈局。此外，大扭稜十二面截半二十面體也與二十複合四面半六面體（英語：Compound of twenty tetrahemihexahedra）的其中一個手性對應體共用20個正三角形面，另外60個正三角形面出現在另一個對映體中。

凸包	大扭稜十二面截半二十面體	大二重斜方截半二十面體
大二重扭稜二重斜方十二面體	二十複合八面體（英語：Compound of twenty octahedra）	二十複合四面半六面體（英語：Compound of twenty tetrahemihexahedra）

圖像

傳統填充

相交偶數次為外部

參見

• 均勻多面體列表（英語：List_of_uniform_polyhedra）

參考文獻

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Great Snub Dodecicosidodecahedron. [2022-08-24]. （原始內容存檔於2022-08-24）.
2. Weisstein, Eric W. (編). Great Snub Dodecicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
3. Maeder, Roman. 64: great snub dodecicosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-24]. （原始內容存檔於2022-08-24）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始內容存檔於2013-09-02）.
5. Richard Klitzing. icosidodecadodecahedron, ided. bendwavy.org. [2022-08-24]. （原始內容存檔於2021-09-24）.
6. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始內容存檔於2021-10-19）.
7. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #69, great snub dodecicosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始內容存檔於2022-08-24）.
8. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-24]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-08-14）.
9. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-24]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-08-14）.
10. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始內容存檔於2018-07-07）.
11. V.Bulatov. great snub dodecicosidodecahedron. [2022-08-24]. （原始內容存檔於2022-08-24）.