多項式餘式定理(英語:Polynomial remainder theorem)是指一個多項式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 除以一線性多項式 x − a {\displaystyle x-a} 的餘式是 P ( a ) {\displaystyle P(a)} 。 此條目需要擴充。 (2013年11月1日) 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2013年11月1日) 定義 我們可以一般化多項式餘式定理。如果 P ( x ) M ( x ) {\displaystyle {\frac {P(x)}{M(x)}}} 的商式是 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、餘式是 R ( x ) {\displaystyle R(x)} ,那麼 P ( x ) = M ( x ) Q ( x ) + R ( x ) {\displaystyle P(x)=M(x)Q(x)+R(x)} 。其中 R ( x ) {\displaystyle R(x)} 的次數會小於 M ( x ) {\displaystyle M(x)} 的次數。例如, 5 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 1 x − 3 {\displaystyle {\frac {5x^{3}+4x^{2}-12x+1}{x-3}}} 的餘式是 5 ⋅ 3 3 + 4 ⋅ 3 2 − 12 ⋅ 3 + 1 = 136 {\displaystyle 5\cdot 3^{3}+4\cdot 3^{2}-12\cdot 3+1=136} 。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。 至於除式為2次以上時,可將n次除式的 n {\displaystyle n} 根 a , b , c , ⋯ {\displaystyle a,b,c,\cdots } 列出聯立方程: P ( a ) = R ( a ) , P ( b ) = R ( b ) , P ( c ) = R ( c ) , ⋯ {\displaystyle P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots } 其中 P {\displaystyle P} 是被除式, R {\displaystyle R} 是餘式。 此方法只可用在除式不是任一多項式的 n {\displaystyle n} 次方。 推導 多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根據多項式除法的定義,設被除式為 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ,除式為 g ( x ) {\displaystyle g(x)} ,商式為 q ( x ) {\displaystyle q(x)} ,餘式為 r ( x ) {\displaystyle r(x)} ,則有: f ( x ) = g ( x ) ⋅ q ( x ) + r ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)} 如果 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 是一次式 x − a {\displaystyle x-a} ,則 r ( x ) {\displaystyle r(x)} 的次數小於一,因此, r ( x ) {\displaystyle r(x)} 只能為常數,這時,餘式也叫餘數,記為 r {\displaystyle r} ,即有: f ( x ) = ( x − a ) ⋅ q ( x ) + r {\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r} 根據上式,當 x = a {\displaystyle x=a} 時,有: f ( a ) = ( a − a ) ⋅ q ( a ) + r = r {\displaystyle f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r} 因此,我們得到了餘式定理:多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 除以 x − a {\displaystyle x-a} 所得的餘式等於 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 。 參見 數學主題 中國剩餘定理 這是一篇關於代數的小作品。您可以透過編輯或修訂擴充其內容。閱論編 Related topics超越數不能用有理系數代數方程的根來表示的數值輾轉相除法费马小定理數學定理显示更多