數學上,嚴謹(rigor,mathematical rigor)不同於生活中的嚴謹,它指數學系統尤指公理系統完備性自洽性

完備性指公理數量不多不少正好可以推理出這門學科的全部結論;自洽性指公理系統內不存在悖論(即既是真又是假的命題)。比如仿射幾何加上平行公設就成為歐幾里得幾何,或者加上第五公設的反命題就成為非歐幾何之一,但後兩者並不滿足完備性要求,只有仿射幾何學才是歐幾里得幾何類中的完備系統。一致性哥德爾不完備定理並不矛盾,前者斷言不存在既真又假的命題,而後者斷言存在既不可證明又不可證偽的命題,就好比第五公設之於歐幾里得幾何連續統假設之於公理化集合論選擇公理之於策梅洛-弗蘭克爾集合論

數學的嚴謹

數學的嚴謹可以應用於數學的證明方法和數學的實踐方法

數學證明

數學的嚴謹經常被認為是數學證明的標準。 其的歷史可追溯至希臘時期的數學,特別是歐幾裏得的《幾何原本》。

直到19 世紀,歐幾裏得的《幾何原本》都被視為極其嚴謹和深刻。然而,在19 世紀末,希爾伯特意識到該著作隱含了某些假設,而這些假設無法從歐幾裏得的公理中得到證明。

例如:兩個可以相交於一點,某個點在一個角度內,並且圖形可以相互疊加)。

這與數學中的嚴格證明的理念相反,在嚴格證明中,所有假設都需要陳述,並且不能隱含任何內容。因此,數學家用公理系統開發了新的基礎,以解決《幾何原本》中不嚴謹的地方。(例如希爾伯特公理伯克霍夫公理塔斯基公理)。

物理證明

數學嚴謹對物理學有兩個問題:

  1. 有一個普遍的問題,有時被稱為維格納之謎(《The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences》):「數學如何普遍適用於自然?」,而一些科學家認為,對於自然的紀錄證明了數學適用於物理研究
  2. 有一個關於數學結果與關係是否嚴謹的問題。該問題對量子場論甚為煩人,因為在量子場論中,計算通常會產生無限值,而為解決這些問題,科學家設計了各種不嚴格的解決方法。

物理學中數學嚴謹的兩個問題都引起了科學哲學的廣泛關注。

參考文獻

  • 參見徐利治的《微積分大意》

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