反函數

在數學裏，反函數，也稱為逆函數（英語：Inverse function），為對一個定函數做逆運算的函數。

函數ƒ和它的反函數ƒ^–1。由於ƒ把a映射到3，因此反函數ƒ^–1把3映射回到a。

定義與存在性

設${\displaystyle f}$為一函數，其定義域為${\displaystyle X}$，對應域為${\displaystyle Y}$。如果存在一函數${\displaystyle g}$，其定義域和對應域分別為${\displaystyle Y,\,X}$，並對任意${\displaystyle x\in X}$有 ${\displaystyle g(f(x))=x}$、對任意${\displaystyle y\in Y}$有${\displaystyle f(g(y))=y}$，則稱${\displaystyle g}$為${\displaystyle f}$的反函數，記之為${\displaystyle f^{-1}}$。^{[註 1]}

若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要條件是該函數為對射，即同時為單射和滿射。^[1]

若${\displaystyle f}$為一實函數，還可通過水平線測試判斷其是否為單射、滿射或對射。

與限制的關係

一部分函數儘管本身不可逆，但它到其定義域的某個子集上的限制是可逆的。^[2]例如

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle f}$並不是單射，因${\displaystyle f(1)}$和${\displaystyle f(-1)}$均為${\displaystyle 1}$。但若取其到${\displaystyle [0,\infty )}$上的限制，則這一限制為對射，並擁有反函數

${\displaystyle {f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.}$

反三角函數是限制定義域的另一個例子。正弦、餘弦等三角函數具有週期性，如

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x),}$

這意味着其並非單射。若要定義三角函數的反函數，則需要限定其定義域，如反正弦函數通常定義為正弦函數到${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$上的限制的反函數。這一經過限制的定義域亦是反正弦函數的值域，稱作其主值（英語：Principal value）。

性質

• 原函數的定義域、值域分別是反函數的值域、定義域。
• 原函數與其反函數的函數圖像關於函數${\displaystyle y=x}$的圖像對稱。
• 嚴格單調函數一定存在反函數，且反函數與原函數的單調性一致。
• 擁有反函數的函數不一定是嚴格單調函數，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$

註釋

1. 此種寫法易與一個數的${\displaystyle -1}$次冪混淆，尤其在三角函數中，${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$表示${\displaystyle \sin(x)}$的平方，但${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$表示反正弦在${\displaystyle x}$處的值，而非${\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}}$。

參考資料

1. Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. （原始內容存檔於2023-12-29）.
2. Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.

另見

• 值域
• 逆關係
• 反函數定理