半單模
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在模論中,一個環 上的左模
若可表為單模的直和,便稱
為半單模。
本條目中的環皆有乘法單位元素 。對於右模,相應的陳述依然成立。
等價定義
以下陳述彼此等價:
是單模的和。
是其單子模的和。
- 對每個子模
,存在子模
使得
。
性質
- 若
是半單模,則其子模與商模亦然。
- 若
是半單模,則
亦然。
半單環
藉由環的乘法運算,每個環 都可視為左(或右)
-模。若
是半單
-模,則稱
為半單環。可以證明:環
是半單左模若且唯若它是半單右模。半單環必然兼為諾特環與阿廷環。
半單環的角色之一,在於半單環 上的模都是半單模,而且任何單左模都可嵌入
中,成為其極小左理想。這遂大大便利了對
-模結構的研究。
對於非交換環,單環未必是半單環,儘管術語上引人如此聯想。
例子
- 若
為域、
為
階有限群,則群代數
半單的充要條件是
的特徵不整除
。此結果是有限群表示理論的基石。
- Artin-Wedderburn 定理給出了半單環的結構:一個環
半單若且唯若它同構於
,其中每個
皆為除環、
表示
上的
矩陣代數。
- 設
為域
上之有限維向量空間,
。則
是多項式環
上的左模,結構由
給出。此時
半單的充要條件是
在代數閉包
上可對角化。
文獻
- N. Bourbaki, Algèbre commutative (1983) Chapitre, VIII et IX, Masson.
- R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
- T.Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.