分數小波變換(Fractional wavelet transform,縮寫:FRWT)是傳統小波變換(Wavelet transform)的推廣。該變換的提出改進了了小波變換和分數傅里葉變換的局限性。分數小波變換繼承了傳統小波變換的多解像度特性,同時,類似於分數傅里葉變換,可以表示分數階域的信號特徵。
定義
分數傅里葉變換(FRFT)[1]是傅里葉變換(FT)的推廣,它在光學、通信、信號和圖像處理方面是一個強有力的分析工具。[2]然而,由於分數傅里葉變換使用全局核函數,它只強調了存在某些成分,而沒有說明這些成分的時間定位。因此,對非平穩信號進行FRFT頻譜分析時需要在時間-FRFT域進行聯合分析。
對FRFT的一個修改時短時分數傅里葉變換(STFRFT)。[3][4]STFRFT的思想時使用具有時間局域性的窗函數將信號分段,然後對每一段進行FRFT頻譜分析。STFRFT可以在時間-FRFT域進行聯合分析,然而,由於窗函數的長度是預先固定的,STFRFT並不能在時間域和FRFT域均提供良好的解像度。換而言之,STFRFT的解像度受到不確定性原理的約束[5],即窄窗具有較好的時間解像度和較差的FRFT譜解像度;寬窗具有較好的FRFT譜解像度和較差的時間解像度。然而多數實際信號高頻成分持續時間較短,而低頻成分持續時間較長。
Mendlovic和David推廣了小波變換,提出了分數小波變換(FRWT)。[6]
FRWT被定義為FRFT和小波變換(WT)的級聯,即:
其中,變換的核函數為:
其中,表示的FRFT。然而,由於時間信號在變換中丟失,這並不是時間-FRFT聯合分佈。
此外,Prasad和Mahato將信號和母小波的FRFT來表達信號的WT,並稱這種表達為FRWT。[7]即:
其中和表示和的傅里葉變換(參數縮放了倍)。顯然,這種所謂的FRWT與普通WT是相同的。
最近, Shi等人通過引入與FRFT有關的分數卷積[8]提出了新的關於FRWT的定義。[9]任意平方可積函數的FRFT定義為:
其中是對母小波的Chirp調製和連續仿射變換,即:
其中,是尺度參數;是位移參數。對應的逆FRWT變換為:
其中是與選用的小波相關的常數,該常數決定了重建能否進行,即容許性條件(Admissibility condition):
其中表示的傅里葉變換。容許性條件表明,即。因此,連續分數小波必須表現出震盪的性質,並在分數傅里葉域中體現出帶通濾波器的特性。從這點來看,的FRWT變換可以用FRFT域來表示,即:
其中表示對的FRFT,表示的傅里葉變換(參數縮放了倍)。當時,FRWT退化為傳統的小波變換。文獻[9][10]對此類FRWT進行了深入的討論。
分數小波變換的多分辨分析(MRA)
該文[11]概述了分數小波變換及其多分辨分析。
參考文獻
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