凸函數的某些性質,多元情況的敍述與一元情況同樣簡單。此種性質,可能僅於多元情況列舉,恕不在一元情況贅述。
函數(藍色)是凸的,若且唯若其上方的區域(綠色)是一個凸集。
- 設
是一元實函數,定義域為區間。考慮割線斜率
則函數
是對稱函數,即關於
。
為凸,當且僅當對每個固定的
,皆有
關於
單調不減(或由對稱性,可將此句中
互換)。此刻劃有助證明以下的結果。
- 若一元凸函數
定義在開區間
內,則在C內連續,且處處有左側及右側的單邊導數。如此定義的兩個單邊導函數,皆為單調不減。由此推出,除可數個點外,
在其他點皆可微(不過不可導的點組成的集合,仍有可能稠密)。如果
是閉區間,那麼
有可能在
的端點不連續,見例子。
- 一元可微函數在區間上是凸的,若且唯若函數位於所有它的切線的上方:[3]:69對於區間內的所有
和
,都有
特別地,如果
,則上式化為
,故
是
的最小值。
- 一元可微函數在某個區間上是凸的,若且唯若它的導數在該區間上單調不減。若一元函數既凸又可導,則其導數也連續。
- 一元二階可微的函數在區間上是凸的,若且唯若它的二階導數是非負的;這是判斷某個函數是否凸的實用方法。直觀地,二階可導的凸函數「向上彎」,而不會屈向另一邊(即無拐點)。如果它的二階導數是正數,那麼函數就是嚴格凸的,但反過來不成立。例如,
的二階導數是
,當
時為零,但
是嚴格凸的。
- 此性質的條件「二階導數非負」與前一個性質的條件「導數單調不減」有差異。若
在區間
非負,則的確
在
單調不減。反之則不然,因為可能有
在
單調不減,但在某點不可導,即
在
中某點無定義。
- 若
為一元凸函數,且
,則
在正數集內為超可加函數,即
對任意正實數
成立。
更一般地,多元二次可微的連續函數在凸集上是凸的,若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是半正定的。
凸函數的任何極小值也是最小值。嚴格凸函數最多有一個最小值。
對於凸函數f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函數不一定是凸函數;這樣的函數稱為擬凸函數。
延森不等式對於每一個凸函數f都成立。如果
是一個隨機變量,在f的定義域內取值,那麼
(在這裏,
表示數學期望。)
- 如果
和
是凸函數,那麼
和
也是凸函數。
- 如果
和
是凸函數,且
遞增,那麼
是凸函數。
- 凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果
是凸函數(
),那麼
也是凸函數,其中![{\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m},\;b\in \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e5c6ce680018f89270300dce49a1b6fcaceecf)
- 如果
在
內是凸函數,且
是一個凸的非空集,那麼
在
內是凸函數,只要對於某個
,有
。
- 函數
處處有
,因此f是一個(嚴格的)凸函數。
- 絕對值函數
是凸函數,雖然它在點x = 0沒有導數。
- 當
時,函數
是凸函數。
- 定義域為[0,1]的函數f,定義為f(0)=f(1)=1,當0<x<1時f(x)=0,是凸函數;它在開區間(0,1)內連續,但在0和1不連續。
- 函數
的二階導數為
,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函數,在x ≤ 0的集合上是凹函數。
- 每一個在
內取值的線性變換都是凸函數,但不是嚴格凸函數,因為如果f是線性函數,那麼
。如果將「凸」替換為「凹」,該命題也成立。
- 每一個在
內取值的仿射變換,也就是說,每一個形如
的函數,既是凸函數又是凹函數。
- 每一個範數都是凸函數,這是由於三角不等式。
- 如果
是凸函數,那麼當
時,
是凸函數。
和
為單調遞增但非凸的函數。
- 函數f(x) = 1/x2,f(0)=+∞,在區間(0,+∞)內是凸函數,在區間(-∞,0)內也是凸函數,但是在區間(-∞,+∞)內不是凸函數,這是由於x = 0處的奇點。
- Moon, Todd. Tutorial: Convexity and Jensen's inequality. [2008-09-04]. (原始內容存檔於2008-04-20).
- Rockafellar, R. T. Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. 1970.
- Luenberger, David. Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. 1984.
- Luenberger, David. Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. 1969.
- Bertsekas, Dimitri. Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 2003.
- Thomson, Brian. Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. 1994.
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
- Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 1961.
- Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.