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在數學裏,尤其是在序理論裏,一個偏序集合 A 的共尾性 cf(A) 是指 A 的共尾子集的勢中的最小者。
共尾性的定義依賴於選擇公理,因為它利用了所有非空的基數集合都有一個最小成員的事實。偏序集合 A 的共尾性亦可定義成最小的序數 x,使得有着值域共尾於陪域的一個從 x 到 A 的函數。第二個定義不需要選擇公理也可以有意義。若假設有選擇公理(此條目接下來的部分亦將如此假設),這兩種定義將是等價的。
如果 A 容納全序共尾子集,則我們可以找到是良序的並共尾於 A 的一個子集 B。B 的任何子集也是良序的。如果 B 的兩個良序子集有極小的勢(就是說它們的勢是 B 的共尾性),則它們相互序同構。
序數 的共尾性是能夠作為 某個共尾子集的序類型的最小序數 。而序數的集合或任何其他良序集合的共尾性是該集合的序類型的共尾性。
所以對於極限序數,存在着一個帶有極限 的 -標定的嚴格遞增序列。例如,ω² 的共尾性是 ω,因為序列 ω·m(這裏的 m 取值在自然數之上)趨向於 ω²;但更一般的說,任何可數的極限序數有共尾性 ω。不可數的極限序數可以有要麼同 那樣的共尾性 ω ,要麼有不可數共尾性。 0 的共尾性是 0。任何後繼序數的共尾性是 1。任何極限序數的共尾性至少是 。
正規序數是等於其共尾性的序數。奇異序數是不正規的任何序數。
所有正規序數都是一個基數的初始序數。任何正規序數的極限都是初始序數的極限,因而也是初始的,但不一定是正規的。假定選擇公理,則對於每個 α, 是正規的。在這種情況下,序數 0, 1, , , 和 是正規的,而 2, 3, , 和 ωω·2 是不正規的初始序數。
任何序數 α 的共尾性是正規序數,就是說 α 的共尾性的共尾性同於 α 的共尾性。所以共尾性運算是等冪的。
如果 κ 是無限基數,則 cf(κ) 是最小的基數,其使得有一個從它到 κ 的無界函數;並且 cf(κ) = 使得它們的和為 κ的嚴格更小的基數的集合的最小搜集的勢;更精確地說
上面這個集合為非空,根據以下事實
就是說 κ 個單元素集合的不交併集。這立即蘊涵了 cf(κ) ≤ κ。任何全序集合的共尾性是正規的,所以有着 cf(κ) = cf(cf(κ))。
使用König定理,對於任何無限基數 κ都可以證明 κ < κcf(κ) 和 κ < cf(2κ) 。
後一個不等式蘊涵了連續統的勢的共尾性必定是不可數的。在另一方面
序數 ω 是第一個無限序數,所以 的共尾性是 card(ω) = 。(特別是, 是奇異的)。因此
(相較於連續統假設,它聲稱 。)
推廣了這個論證,你可以證明對於極限序數 δ
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