在概率論 中,尤其在隨機過程 的研究中,停時 是一種特殊的「隨機時刻」。
停時的一個範例: 布朗運動 的首中時
停止規則和停時理論常在概率論 和統計學 中被提到和應用,其中著名的有可選抽樣定理 。停時同時在數學證明中也被頻繁應用——「馴服時間這一連續統」
[ 1] 。
定義 —
(
X
,
Σ
,
P
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}
是概率空間 ,
≤
{\displaystyle \leq }
是集合
T
{\displaystyle T}
上的全序關係 ,若有個單射
F
:
T
→
P
[
P
(
X
)
]
{\displaystyle {\mathcal {F}}:T\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}
滿足:
對所有
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
,
F
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}
是
X
{\displaystyle X}
上的Σ-代數 ,且
F
(
t
)
⊆
Σ
{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq \Sigma }
。
對所有
s
,
t
∈
T
{\displaystyle s,\,t\in T}
, 若
t
≤
s
{\displaystyle t\leq s}
則
F
(
t
)
⊆
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq {\mathcal {F}}(s)}
那
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
被稱為
(
X
,
Σ
,
P
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}
上的一個濾子 /域流 (filtration),也可以稱
(
X
,
Σ
,
F
,
P
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\mathcal {F}},\,P)}
為一個濾波 (概率)空間 。
要強調是用哪個集合
T
{\displaystyle T}
去定義濾子的時候,可以仿造序列 的標記,把濾子記為
{
F
t
}
t
∈
T
{\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}}
,然後把
F
(
t
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}
也簡記為
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
。
定義 —
(
X
,
Σ
,
{
F
t
}
t
∈
T
,
P
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T},\,P)}
為一個濾波空間,若函數
τ
:
X
→
T
{\displaystyle \tau :X\to T}
滿足。
(
∀
t
∈
T
)
{
{
x
∈
X
|
τ
(
x
)
≤
t
}
∈
F
t
}
{\displaystyle (\forall t\in T){\bigg \{}\{x\in X\,|\,\tau (x)\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\bigg \}}}
那稱
τ
{\displaystyle \tau }
為濾子
{
F
t
}
t
∈
T
{\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}}
的一個停時 (stopping time)
為了解釋一些是或不是停時的隨機時刻,考慮一個玩輪盤賭 的賭徒,其具有典型的賭場優勢,初始時刻賭資為100元:
賭且只賭一次,對應於停時
τ
{\displaystyle \tau }
= 1,且這是一個停止規則(在停時概念中決定何時停止的規則或條件)。
當賭徒破產或贏得500元錢時停止賭博是一個停止規則。
當賭徒獲得他所能贏得的最大賭資(此時刻之前以及之後)時停止賭博不是一個停止規則,且不提供一個停止規則:因為它不僅需要此刻和過去的信息,還需要將來的信息。
當賭徒使其賭資翻倍時(資產為負時若必要則允許貸款)不是一個停止規則,因為只有單邊,而且他永遠不能使他的賭資翻倍的概率 是正的。(這裏假設存在限制使得備註訣竅體系 (加倍賭注法 )或者其變異方法(比如將上次的賭金翻三倍下注)不能被使用。這類限制可以包括針對投注的但並不針對借款。)
當賭徒使其賭資翻倍或破產時停止賭博是一個停止規則,雖然賭徒賭博的總次數實際上並不一定是有限的,但,他在有限時間內停下來的概率是1。
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