倒數和發散

加性組合（英語：Additive combinatorics）數學中，倒數和發散的正整數集

${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}\subseteq \mathbb {N} }$

是元素倒數的級數和發散的集合，即滿足

${\displaystyle {\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots =\infty .}$

下文簡稱「大集」。與之相反，倒數和收斂的集合，元素倒數和有限，下文簡稱「小集」。

如此區分集合的大小，見於蒙茲-薩斯定理（英語：Müntz–Szász theorem）和埃爾德什等差數列猜想。

例

如無另外聲明，集合皆由正整數構成。

• 有限集必為小集。
• 全體正整數集${\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \}}$是大集。換言之，全體正整數的倒數和（稱為調和級數）發散。推而廣之，任何等差數列（即形如${\displaystyle \{a+nd:n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}}$的集合，其中${\displaystyle a,d}$皆為正整數）皆是大集。
• 全體平方數的集合是小集（其倒數和為${\displaystyle \pi ^{2}/6}$）。立方數、四次方數等亦然。更一般地，任何二次以上的正整數系數多項式取值的集合必為小集。
• ${\displaystyle 2}$的冪組成的集合${\displaystyle \{1,2,4,8,\ldots \}}$是小集。對任何等比數列（即形如${\displaystyle \{ar^{n}:n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}}$的集合，其中${\displaystyle a,r}$皆為正整數，且${\displaystyle r\geq 2}$）也有同樣的結論。
• 質數集已證明為大集（見素數的倒數之和）。相反，孿生質數集已證明為小集（見布朗常數），不過仍未知是否有無窮多對孿生質數。
• 雖然質數集為大，質數真冪（即${\displaystyle p^{n}}$，其中${\displaystyle n\geq 2}$，${\displaystyle p}$為質數）的集合為小。此性質常用於解析數論。一般地，完全${\displaystyle n}$次方數的集合為小，甚至全體冪數（質因子皆高於一次的數）亦組成小集。
• 任意b進制下，不含某數字的數的集合也是小集。例如十進制中，不含數字7的數集$${\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}}$$是小集。此類集合的倒數和稱為肯普納級數。
• 若集合的上密度非零，則必為大。

性質

• 小集的子集仍是小集。
• 有限個小集之並仍為小，因為兩個收斂級數之和仍收斂。用集合論術語複述，即小集組成理想（英語：ideal (set theory)）。
• 任意小集的補集為大集。
• 蒙茲-薩斯定理（英語：Müntz–Szász theorem）斷言，集合${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$為大，當且僅當由$${\displaystyle \{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}}$$線性張成的多項式集，在閉區間的連續函數空間${\displaystyle C([a,b])}$中稠密（關於一致範數（英語：uniform norm）拓撲）。此為斯通-魏爾施特拉斯定理的推廣。

未解問題

艾狄胥提出一個著名問題，問不含任意長度等差數列的集合，是否必為小集。他為此懸賞3000美元，高於自己其他猜想（英語：Erdős conjectures），還開玩笑稱賞金違反最低工資法。^[1]後來，懸賞升至5000美元。^[2]截至2021年，問題仍然未解。

一般地，給定某集合的定義，很難分辨該集合是大是小。仍有許多集合的倒數和未知是否收斂。

參見

• 倒數和列表（英語：List of sums of reciprocals）

參考文獻

1. Carl Pomerance. Paul Erdős, Number Theorist Extraordinaire (Part of the article The Mathematics of Paul Erdős) [艾狄胥，出類拔萃的數論家（〈艾狄胥的數學〉之一節）] (PDF). Notices of the AMS. 1998-01 [2021-11-13]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-11-13） （英語）.
2. Soifer, Alexander. The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators [數學塗色書：塗色的數學、開創者的繽紛生活]. New York: Springer. 2008: 354. ISBN 978-0-387-74640-1 （英語）.

• A. D. Wadhwa. An interesting subseries of the harmonic series [調和級數的有趣子級數]. American Mathematical Monthly. 1975, 82 (9): 931–933. JSTOR 2318503 （英語）.