代數Riccati方程(algebraic Riccati equation)是最優控制的非線性方程,和連續時間或是離散時間下,無限時間(infinite-horizon)的最優控制有關。
標準的代數Riccati方程如下:
連續時間代數Riccati方程(CARE):
離散時間代數Riccati方程(DARE):
P是未知數的n×n對稱矩陣,A、B、Q及R是已知實系數矩陣。
一般而言此方程式有許多的解,不過若有存在穩定解的話,希望可以找到穩定解。
名稱的起源
此方程名稱中有Riccati,是因為和Riccati方程的關係。連續時間代數Riccati方程(CARE)可以由相關矩陣值的Riccati微分方程的非時變解來驗證。離散時間代數Riccati方程(DARE)可以由矩陣值的Riccati微分方程的非時變解來驗證(類似離散時間LQR下的Riccati微分方程)。
離散時間的代數Riccati方程
在無限時間的最佳控制問題中,關注的是一些變數在相當時間之後的值,因此需在現在選定控制變數的值,讓系統在之後的時間都在最佳狀態下運作。控制變數在任意時間下的最佳值可以用Riccati方程的解以及狀態變數當時的觀測值求得。若觀測變數及控制變數都不只一個,Riccati方程就會是矩陣方程。
代數Riccati方程可以決定無限時間下非時變LQR控制器的解,以及無限時間下非時變LQG控制的解。這兩個是控制理論中的基礎問題。
典型的離散時間LQR問題,是要最小化以下的函數
其狀態方程如下
其中 y 是 n × 1 的狀態變數向量,u 是 k × 1 的控制變數向量,A 是 n × n 的狀態遞移矩陣,B 是 n × k 的控制系數矩陣,Q (n × n) 是對應半正定狀態損失函數矩陣,R (k × k) 是對應正定的控制損失函數矩陣。
從最後時間往前的推導可以找到每一個時間的最佳控制解[1]
其中對應正定cost-to-go矩陣 P 會依下式,配合,以逆向時間推導
這個就是離散時間的代數Riccati方程。P的穩態解和和T趨近無限大時的無限時間問題有關,可以將動態方程反覆迭代直到收斂,來求得P的穩態解,之後再將動態方程中的時間標註移除,來確認穩態解是否正確。
求解
若代數Riccati方程存在穩定解,求解器一般會設法找到唯一的穩定解。穩定解的意思是指用此解控制相關的LQR系統,可以使閉迴路的系統穩定。
針對CARE,其控制律為
閉迴路遞移矩陣為
其穩定的充份必要條件是所有的特徵值都有負的實部。
針對DARE,其控制律為
閉迴路遞移矩陣為
其穩定的充份必要條件是所有的特徵值在複數平面的單位圓內。
代數Riccati方程的解可以用Riccati方程的的迭代或是矩陣因式分解求得。離散時間問題的一種迭代方式是由有限時間問題下的動態Riccati方程,每一次迭代時,矩陣中的值都是從最終時間往前一段有限時間內的最佳解,若進行無限長的迭代。就會分斂到特定矩陣,是無限時間內的最佳解。
針對大型系統,也可以用找特徵分解的方式求解。針對CARE,可以定義漢彌爾頓矩陣
因為是漢彌爾頓矩陣,若在虛軸上沒有特徵值,則會有恰好一半的特徵值會有負的實部。若定義矩陣,其縱排(column)形成對應子空間的基底,表示為區塊矩陣的形式,如下所示
則
是Riccati方程的解。而且的特徵值即為特徵值中有負實部的特徵值。
針對DARE,若是可逆矩陣,可以定義辛矩陣
因為是辛矩陣,若在單位圓圓周上沒有特徵值,則會有恰好一半的特徵值會在單位圓內。若定義矩陣,其縱排(column)形成對應子空間的基底,表示為區塊矩陣的形式,如下所示 則
是Riccati方程的解。而且的特徵值即為特徵值中,在單位圓內的特徵值。
相關條目
參考資料
外部連結
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