電感(Inductance)是閉合迴路的一種屬性,即當通過閉合迴路的電流改變時,會出現電動勢來抵抗電流的改變。如果這種現象出現在自身迴路中,那麼這種電感稱為自感(self-inductance),是閉合迴路自己本身的屬性。假設一個閉合迴路的電流改變,由於感應作用在另外一個閉合迴路中產生電動勢,這種電感稱為互感(mutual inductance)。電感以方程式表達為
;
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
此條目頁的主題是物理量。關於電路元件,請見「
電感元件」。
其中,
是電動勢,
是電感,
是電流,
是時間。
術語「電感」是1886年由奧利弗·黑維塞命名[1]。通常自感是以字母「L」標記,以紀念物理學家海因里希·楞次[2][3]。互感是以字母「M」標記,是其英文(Mutual Inductance)的第一個字母。採用國際單位制,電感的單位是亨利(Henry),標記為「H」,以紀念科學家約瑟·亨利。與其他物理量的關係:一亨利等同一韋伯除以一安培(1 H = 1 Wb/A)。
電感器是專門用在電路裏實現電感的電路元件。螺線管是一種簡單的電感器,指的是多重捲繞的導線(稱為「線圈」),內部可以是空心的,或者有一個金屬芯。螺線管的電感是自感。變壓器是兩個耦合的線圈形成的電感器,由於具有互感屬性,是一種基本磁路元件。在電路圖中電感的電路符號多半以L開頭,例如,L01、L02、L100、L201等。
應用麥克斯韋方程組,可以計算出電感。很多重要案例,經過簡化程序後,可以被解析。當涉及高頻率電流和伴隨的集膚效應,經過解析拉普拉斯方程式,可以得到面電流密度與磁場。假設導體是纖細導線,自感仍舊跟導線半徑、內部電流分佈有關。假若導線半徑超小於其它長度尺寸,則這電流分佈可以近似為常數(在導線的表面或體積內部)。
穿過閉合迴路2的磁通量
為
;
其中,
是邊緣為
的任意曲面,
是微小面元素。
改用磁向量勢
計算:
;
其中,
是對於變向量
的偏微分。
應用斯托克斯公式,可以得到
。
磁向量勢
的定義式為
。
磁通量與流動於閉合迴路1
的電流
的關係式為
。
所以,互感為
。
這方程式稱為紐曼公式(Neumann formula)。注意到對換閉合迴路
與
不會改變結果,
,因此,可以以變數
統一代表。
類似地,穿過閉合迴路1的磁通量
為
。
除去所有下標,令
、
代表同一閉合迴路,自感以方程式表示為
。
當
時,這積分可能會發散,需要特別加以處理。另外,若假設閉合迴路為無窮細小,則在閉合迴路附近,磁場會變得無窮大,磁通量也會變得無窮大,所以,必須給予閉合迴路有限尺寸,設定其截面半徑
超小於徑長
,
有很多種方法可以化解這困難。例如,令
為閉合迴路的中心曲軸,令
為閉合迴路的表面,則
,這積分就不會發散了[4]。
將前面論述加以推廣,思考
條閉合迴路,設定第
條閉合迴路的捲繞匝數為
,載有電流
,則其磁鏈
為
;
其中,
是穿過第
條閉合迴路的磁通量,
是自感,
是互感。
由於第
條閉合迴路對於磁通量
的總貢獻是捲繞匝數乘以電流,即
,所以,
與乘積
成正比。
從法拉第電磁感應定律,可以得到
;
其中,
是第
條閉合迴路的感應電壓。
第
條閉合迴路的電功率
為
。
假設原先所有電流為零,即
,
儲存於所有閉合迴路的總磁能為
。現在,將第一條閉合迴路的電流
平滑地從
增加到
,同時保持其它閉合迴路的電流不變,則儲存於第一條閉合迴路的磁能
為
。
然後,將第二條閉合迴路的電流
平滑地從
增加到
,同時保持其它閉合迴路的電流不變,則儲存於第二條閉合迴路的磁能
為
。
案照這方法繼續地計算,儲存於第
條閉合迴路的磁能
為
。
所以,當每一個閉合迴路的電流都平滑地增加到其最終電流之後,儲存於所有閉合迴路的總磁能
為[5]
。
假設將
與
的數值交換,總磁能
不會改變。滿足可積分條件
,必需要求
成立。所以,電感矩陣
是個對稱矩陣。
從物理角度來看,上述增加電流方法並不是唯一方法,還有其它很多種增加電流方法。由於能量守恆,沒有任何耗散能量。所以,不論選擇哪一種方法,只要每一條閉合迴路的電流增加到其最終電流,則儲存的總磁能都相等。
對於某些案例,不同的電流分佈會在空間的一些區域產生同樣的磁場。這論據可以用來計算電感。例如,思考以下兩個系統:
- 一條筆直的載流導線與導體牆之間的距離為
。
- 兩條互相平行、載有異向電流的導線,彼此之間的距離為
。
這兩個系統的磁場在導體牆外的半空間(half-space)相等。第二個系統的磁能與電感分別是第一個系統的兩倍。
很多電感器是用磁性材料製成。假若磁場超過材料的飽和度,則這些材料會顯示出非線性磁導率行為與伴隨的磁飽和效應,從而促使電感成為施加電流的函數。雖然法拉第電磁感應定律仍舊成立,但電感會具有多重歧義,依計算電路參數或磁通量而不同。
「大信號電感」是用來計算磁通量,以方程式定義為
。
「小信號電感」是用來計算電壓,以方程式定義為
。
非線性電感器的電壓為
。
類似地,可以給出非線性互感的定義。
Bansal, Rajeev, Fundamentals of engineering electromagnetics illustrated, CRC Press: pp. 154, 2006, ISBN 9780849373602
Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 564–565, 2006, ISBN 9780073301150
Ghosh, Smarajit, Fundamentals of Electrical and Electronics Engineering, PHI Learning Pvt. Ltd.: pp. 113–117, 2004, ISBN 9788120323162
Lorenz, L. Über die Fortpflanzung der Elektrizität. Annalen der Physik. 1879, VII: 161–193.(這表達式給出面電流流動於圓柱體表面的電感).
Elliott, R. S. Electromagnetics. New York: IEEE Press. 1993.對於均勻電流分佈,答案裏不應該有常數 -3/2。
- Frederick W. Grover. Inductance Calculations. Dover Publications, New York. 1952.
- Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998. ISBN 0-13-805326-X.