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中心化子和正規化子
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群論中,一個群 的子集
的中心化子和正規化子是
的子群。它們分別在
的元素和作為一個整體
有受限制的作用。這些子群給出了關於
的結構的有用資訊。我們可以倚靠這些群的資訊,在有限群的分類中,得出一些群
的一些內在訊息
定義
中心化子
群論 | ||||||||||
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![]()
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群 | ||||||||||
| ||||||||||
令 為一個群,
, 我們定義一個集合蒐集所有在
中與每一個
中的元素
可交換的元素,我們記做
;換句話說,
。若
為
的子群,則
。
特別的,當 ,我們會簡化
。
群的中心
群的中心是
,通常記作
。一個群的中心既是正規子群也是交換群,而且有很多其它重要屬性。我們可以將a的中心化子視作最大的(用包含關係為序)G的子群H,滿足a屬於其中心Z(H)的條件。
正規化子
一個相關的概念是,S在G中的正規化子,記作NG(S)或者N(S)。正規化子定義為N(S) = {x屬於G : xS = Sx}。同樣的是,N(S)可以視作G的子群。正規化子的名字來源於如果我們令<S>為一個由S生成的子群,則N(S)是最大的滿足包含<S>為其正規子群的G的子群。<S>在其中為正規子群的最小的G的子群稱為共軛閉包。
如果NG(H) = H,則G的子群H稱為G的自正規化子群。
性質
若G是交換群,則任何G的子集的中心化子和正規化子就是G的全部;特別是,一個群可交換,當且僅當Z(G) = G。
若a和b是G的任意元素,則a在C(b)中,當且僅當b在C(a)中,這有當且僅當a和b可交換。 若S = {a}則N(S) = C(S) = C(a)。
C(S)總是N(S)的正規子群:若c屬於C(S)而n屬於N(S),我們要證明n −1cn屬於C(S)。為此,取s屬於S並令t = nsn −1。則t屬於S,所以ct = tc。注意到ns = tn;以及n −1t = sn −1。我們有
- (n −1cn)s = (n −1c)tn = (n −1(tc)n = (sn −1)cn = s(n −1cn)
這也就是要證明的命題。
若H是G的子群,則N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同構於Aut(H)(H的自同構群)的子群。
因為NG(G) = G,N/C定理也意味着G/Z(G)同構於Inn(G)(由所有G的內自同構組成的Aut(G)的子群)。
如果我們通過T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定義群同態 T : G → Inn(G),則我們可以用Inn("G")在G上的群作用來表述N(S)和C(S):S在Inn(G)中的定點子群就是T(N(S)),而Inn(G)中固定S的子群就是T(C(S))。
共軛類方程
若G為有限群,考慮G共軛到自身的群作用,並應用軌道-穩定點定理,
G的核為
G的軌道為
類方程: