賦距空間

，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狭义相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。 賦距空間还能導出开集與闭集之類的拓扑性质，这导致了对更抽象的拓扑空间之研究。 M {\displaystyle M} 為集合，若其裝配了函数 d : M × M → R {\displaystyle

两个赋范向量空间之间的一个等距变换 f 是指使得对任意向量 v 都有||f(v)|| = ||v|| 的线性变换。保距变换总是连续的单射。如果两个赋范向量空间之间的一个等距变换是满射，那么称其为一个等距同构。两个保距同构的赋范向量空间

{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})} 。 賦距空間的開集還會有以下的性質： 定理 —  若 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 為賦距空間，則 (1) ∅ {\displaystyle \varnothing } 和 M {\displaystyle

空间M就等距同构到完备的度量空间的一个稠密子空间并且通常用这一空间来指代原空间M。 其它的嵌入构造表明每一度量空间都等距同构到某一賦範向量空間的一个闭子集以及每一完备度量空间都等距同构到某一巴拿赫空间的一个闭子集。 一个希尔伯特空间上的等距、满射的线性算子被称为酉算子。 设X, Y是两个度量空间，其中的距离分别是dX

空間X的子集S中的一點，如果 {x} 在S子空間拓撲中是個開集，則稱x是S中的孤點。 保距同構（Isometric isomorphism）。若M1 和M2 是兩個賦距空間，而f: M1  → M2 是個保距對射，則稱M1 和M2 保距同構。從賦距空間的觀點來看，兩個保距同構的空間是一模一樣的。