笛卡兒積

「笛卡兒平方」重定向至此，關於範疇論中的笛卡兒方形，參見拉回 (範疇論)

在數學中，兩個集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的笛卡兒積（英語：Cartesian product），又稱直積，在集合論中表示為${\displaystyle \,X\times Y}$，是所有可能的有序對組成的集合，其中有序對的第一個對象是${\displaystyle \,X\,}$的成員，第二個對象是${\displaystyle \,Y\,}$的成員。

${\displaystyle X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}}$。

${\displaystyle A=\{x,y,z\}}$與${\displaystyle B=\{1,2,3\}}$的笛卡爾積

舉個實例，如果集合${\displaystyle \,X\,}$是13個元素的點數集合${\displaystyle \left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}}$，而集合${\displaystyle \,Y\,}$是4個元素的花色集合${\displaystyle \{}$♠, ♥, ♦, ♣${\displaystyle \}}$，則這兩個集合的笛卡兒積是有52個元素的標準撲克牌的集合${\displaystyle \{(A,}$♠${\displaystyle ),(K,}$♠${\displaystyle ),...,(2,}$♠${\displaystyle ),...,(A,}$♣${\displaystyle ),...,(3,}$♣${\displaystyle ),(2,}$♣${\displaystyle )\}}$。

笛卡兒積得名於笛卡兒，因為這概念是由他建立的解析幾何引申出來。

笛卡兒積的性質

易見笛卡兒積滿足下列性質：

• 對於任意集合${\displaystyle A}$，根據定義有${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }$
• 一般來說笛卡兒積不滿足交換律和結合律。
• 笛卡兒積對集合的並和交滿足分配律，即

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$

${\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)}$

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$

${\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)}$

${\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)}$

• 若一個集合${\displaystyle A}$包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積${\displaystyle A\times A}$有和${\displaystyle A}$一樣多的元素。

笛卡兒平方和n元乘積

集合${\displaystyle X}$的笛卡兒平方（或二元笛卡兒積）是笛卡兒積${\displaystyle X\times X}$。一個例子是二維平面${\displaystyle R\times R}$，（這裏${\displaystyle R}$是實數集） - 它包含所有的點${\displaystyle (x,y)}$，這裏的${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是實數（參見笛卡兒坐標系）。

為了幫助枚舉，可繪製一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列，從行和列的集合選擇元素，以形成有序對作為表的單元格。

可以推廣到在${\displaystyle n}$個集合${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$上的n-元笛卡兒積:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}:=X_{1}\times \ldots \times X_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}}$。

實際上，它可以被等同為${\displaystyle \left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}}$。它是n-元組的集合。

一個例子是歐幾里得三維空間${\displaystyle R\times R\times R}$，這裏的${\displaystyle R}$同樣是指實數集。

無窮乘積

有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列 ${\displaystyle x={\{x(i)\}}_{i=1}^{n}}$（因為序列是種以自然數系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 為定義域的函數），而 ${\displaystyle x}$ 的值域恰好是預備要依序進行笛卡兒積的所有集合，換句話說：

${\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}}$

${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}}$

這樣的話，若有函數 ${\displaystyle f:I\to \bigcup I_{g}}$ 滿足：

${\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]}$

那就等價於

${\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)}$

換句話說，函數 ${\displaystyle f}$ 可以看做 ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(i)}$ 裏的一個n-元組，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：

定義 — 若 ${\displaystyle I}$ 是集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 的指標集，換句話說有指標函數 ${\displaystyle x}$ 讓二者等勢：

${\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}}$

那以下的函數族

${\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}:=\left\{f\,{\bigg |}\,\left(f:I\to \bigcup {\mathcal {X}}\right)\wedge (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]\right\}}$

被稱為集合族 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 關於指標函數 ${\displaystyle x}$ 的無窮乘積。

更進一步的，若此時取一 ${\displaystyle j\in I}$ ，則以下定義的函數 ${\displaystyle \pi _{j}}$

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)}$ ，${\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]}$

被稱為第 ${\displaystyle j}$ 投影映射。

在無限情況，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然數集${\displaystyle \mathbb {N} ,}$的時候：這正是其中第i項對應於集合${\displaystyle X_{i}}$的所有無限序列的集合。再次，${\displaystyle \mathbb {R} }$提供了這樣的一個例子：

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots }$

是實數的無限序列的搜集，可視之為帶有無限個構件的向量或元組。另一個特殊情況（上述例子也滿足它）是在乘積中的各因子X_i都是相同的時候，類似於「笛卡兒指數」。這樣，在最先定義中的無限併集自身就是這個集合自身，而其他條件被平凡的滿足了，所以這正是從I到X的所有函數的集合。

在別的情況，無限笛卡兒積就不那麼直觀了；儘管在高等數學中的應用有其價值。

「非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空」這一陳述等價於選擇公理。

函數的笛卡兒積

如果${\displaystyle f}$是從${\displaystyle A}$到${\displaystyle B}$的函數，而${\displaystyle g}$是從${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的函數，則它們的笛卡兒積${\displaystyle f\times g}$是從${\displaystyle A\times X}$到${\displaystyle B\times Y}$的函數，帶有

${\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))}$

跟之前類似，函數的笛卡兒積也可以擴展到函數的元組和無限情況。

參見

• 有序對
• 冪集公理
• 二元關係
• 笛卡兒
• 乘積拓撲
• 乘積 (範疇論)
• 拉回 (範疇論)

外部連結

• Cartesian Product at ProvenMath （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Hazewinkel, Michiel (編), Direct product, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4