柯尼格斯函數

在數學中， 柯尼格斯函數是用於複分析和動力系統中的一種函數。法國數學家加布里埃爾·澤維爾·保羅·科尼格斯於1884年引入了此函數，該函數作為複數中單位圓盤內的單葉函數的擴張，或單位圓盤內的映射組成的半群的擴張，給出一個規範表示。

柯尼希斯函數的存在性與唯一性

令D為複數中的單位圓盤，設D上有全純函數${\displaystyle f:D\to D}$，f固定點0，其中f不等於0且f不是D的自同構（即由SU(1,1)中矩陣定義的莫比烏斯變換）。

由丹喬-沃爾夫定理（英語：Denjoy–Wolff theorem）可知，f 使得每個由|z|<r表記的圓盤保持不變，且f的迭代一致緊密收斂到0：事實上，在0 < r < 1範圍內，對於|z | ≤ r且M(r ) < 1，有：

${\displaystyle |f(z)|\leq M(r)|z|}$。

此外，f '(0) = λ，其中0 < |λ| < 1.

Koenigs (1884)證明了，在D上可以定義證明唯一的全純函數h，稱為柯尼希斯函數，使得h(0) = 0, h '(0)=1，同時滿足施羅德方程（英語：Schröder's equation）：

${\displaystyle h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.}$

函數h 是一系列歸一化迭代 ${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}$ 的緊空間上的一致收斂極限，.

此外，如f為單價，則h同理^[1][2]。

因此，若f（因此 h）為單價，D則可用開放領域U = h(D)識別。 受此共形識別影響，映射f轉換為乘以λ（即U上的膨脹）。

證明

• 獨特性——若k是另一個解，一經分析，則足以證明k = h接近於0。令

${\displaystyle H=k\circ h^{-1}(z)}$

接近0。遂H(0) =0，H'(0)=1 並且對於小|z |，

${\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z)~.}$

將H代入冪級數，得出H(z) = z 接近0。故h = k接近0。

• 存在——若${\displaystyle F(z)=f(z)/\lambda z,}$，則依據施瓦茨引理：

${\displaystyle |F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.}$

另一方面，

${\displaystyle g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.}$

故依據魏爾施特拉斯判別法檢驗結果得出g_n一致收斂於|z| ≤ r，因為

${\displaystyle \sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\sum M(r)^{j}<\infty .}$

• 單價——依據赫維茨定理，由於每個gⁿ具有單價性和正規化兩項屬性（即固定0並在此有導數1），其極限h亦具有單價性。

引用

1. Carleson & Gamelin 1993，第28–32頁
2. Shapiro 1993，第90–93頁

參考文獻

• Berkson, E.; Porta, H., Semigroups of analytic functions and composition operators, Michigan Math. J., 1978, 25: 101–115, doi:10.1307/mmj/1029002009
• Carleson, L.; Gamelin, T. D. W., Complex dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-97942-5
• Elin, M.; Shoikhet, D., Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Topics in Univalent Functions, Functional Equations and Semigroup Theory, Operator Theory: Advances and Applications 208, Springer, 2010, ISBN 978-3034605083
• Koenigs, G.P.X., Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. Sci. École Norm. Sup., 1884, 1: 2–41
• Kuczma, Marek. Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. 1968. ASIN: B0006BTAC2
• Shapiro, J. H., Composition operators and classical function theory, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94067-7
• Shoikhet, D., Semigroups in geometrical function theory, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 0-7923-7111-9