康托爾集

在數學中，康托爾集（Cantor set）由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入^[1][2]（但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯（英語：Henry John Stephen Smith）在1875年發現^[3][4][5][6]），是位於一條線段上的一些點的集合，具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合，康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合，但是最常見的構造是康托爾三分點集，由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造，作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。

一種像康托爾集圖案的柱頭。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828 請檢查|date=中的日期值 (幫助) 菲萊島雕塑

康托爾集的構造

康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一的開集而得出。首先從區間${\displaystyle \left[0,1\right]}$中去掉中間的三分之一${\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$，留下兩條線段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$。然後，把這兩條線段的中間三分之一都去掉，留下四條線段：${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$。康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間${\displaystyle [0,1]}$中的點組成。這個過程可以由遞歸的方法描述，首先令：

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

則第${\displaystyle n}$步遞歸得到的結果：

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)}$, 對於${\displaystyle n\geq 1}$

所以：

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }C_{n}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$, 對於 ${\displaystyle m\geq 0}$.

下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。

有些學術論文詳細描述了康托爾集的明確公式。^[7][8]

參見

• 康托爾函數
• 康托爾立方體（英語：Cantor cube）
• 謝爾賓斯基地毯
• 科赫雪花
• 門格海綿
• 以豪斯多夫維度排序的分形列表