希爾伯特-施密特算子

在數學中，一個希爾伯特-施密特算子(英語：Hilbert–Schmidt operator)（得名於大衛·希爾伯特和埃哈德·施密特）, 是希爾伯特空間H上的有界算子A，有有限的希爾伯特-施密特範數

${\displaystyle \|A\|_{HS}^{2}={\rm {Tr}}(A^{*}A):=\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}}$，

其中${\displaystyle \|\ \|}$是H上的範數，${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$是H上的一組標準正交基，Tr是非負自伴算子的跡。^[1][2]這裏指標集不一定可數。這個定義不依賴於基底的選擇，所以有

${\displaystyle \|A\|_{HS}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$，

其中${\displaystyle A_{i,j}=\langle e_{i},Ae_{j}\rangle }$，${\displaystyle \|A\|_{2}}$為${\displaystyle A}$在p = 2時的Schatten範數（英語：Schatten norm）。在歐幾里得空間中，${\displaystyle \|\ \|_{HS}}$也被稱為弗羅貝尼烏斯範數，得名於費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯。

兩個希爾伯特-施密特算子的乘積有有限的跡類範數；因此，如果A和B是兩個希爾伯特-施密特算子，希爾伯特-施密特內積可以如下定義

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle }$。

希爾伯特-施密特算子構成一個H上的有界算子的Banach代數（英語：Banach algebra）的雙邊*理想。它們構成一個希爾伯特空間，可以證明自然等距同構到希爾伯特空間的張量積（英語：Tensor product of Hilbert spaces）

${\displaystyle H^{*}\otimes H}$，

其中H^∗是H的對偶空間。

希爾伯特-施密特算子的集合在範數拓撲下是閉集，若且唯若H是有限維空間。

一類重要的例子是希爾伯特-施密特積分算子（英語：Hilbert–Schmidt integral operator）。

希爾伯特-施密特算子是二階核型算子（英語：Nuclear operator），因此是緊的。

另請參閱

• 弗羅貝尼烏斯內積（英語：Frobenius inner product）

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (編). Hilbert–Schmidt Operator. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-12-13]. （原始內容存檔於2019-05-20） （英語）.
2. Voitsekhovskii, M.I., H/h047350, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4