伯納德·德沃克（英語：Bernard Dwork，1923年5月27日—1998年5月9日），美國數學家，生前為普林斯頓大學教授[1]。德沃克以應用p-進方法解決代數幾何與數論問題，特別是他在1960年證明有限域上關於局部zeta函數有理性的韋伊猜測[2]，而著稱。因局部 zeta 函數有理性之證明，德沃克在 1962 年與岩澤健吉分享美國數學會所設之科爾數論獎[3]。
德沃克曾使用假名Maurizio Boyarsky發表過兩篇論文[4]。他的女兒辛西婭·德沃克（Cynthia Dwork）[1]為計算機科學家, 哈佛大學教授。
數學貢獻
德沃克最知名的貢獻是他對有限域上代數簇的 zeta 函數的有理性的證明[2]。在這個證明中，他提出了所謂「分裂函數」的概念。這個概念可以將有限域上的加性特徵函數計算提升到 p-進數域上。譬如，應用分裂函數可以簡單地推出關於高斯和的 Stickelberg 同餘關係。分裂函數將成為後來使用 p-進方法來研究特徵和的理論基礎。
在 1960 年代，德沃克繼續發展了他在有理性證明中的 p-進方法。提出並研究了所謂的解析德沃克上同調[5][6]。如果使用最簡單的分裂函數，則解析德沃克上同調可以被用現代語言表達成某環面解析空間上的某可積聯絡的德拉姆上同調。解析德沃克上同調的代數類似物因出現在愛德華·威滕的著名文章「超對稱與莫爾斯理論[7]」中而以「威滕上同調」之名為人所知。他的博士生尼古拉斯·卡茨 (Nicholas Katz) 則在其博士論文中證明了超曲面的代數德沃克上同調與超曲面的「本原代數德拉姆上同調」同構。在德沃克對德沃克上同調的研究中，德沃克還提出了所謂的關於 zeta 函數的「變形理論」。根據卡茨的工作，德沃克的變形理論中出現的微分方程的確是古典被研究的代數簇變形的皮卡--富克斯方程。
德沃克在研究德沃克上同調的過程中，首先提出並研究了鏈復形級別上的弗羅本尼烏斯作用[5][6]。這是一個無限矩陣。通過 p-進分析，德沃克證明了對於光滑超曲面，牛頓多邊形高於霍奇多邊形。一個有限域代數簇的牛頓多邊形本質上記錄了它 zeta 函數的一些零點（或極點）的 p-進絕對值，而霍奇多邊形則是在記錄代數簇霍奇分解中各個分支的維數。牛頓高於霍奇這一現象，或謂卡茨猜想，後來被巴里·梅澤 (Barry Mazur) 所證明。
基於前述工作，德沃克提出可以使用 p-進分析和解析德沃克上同調來研究特徵和，或曰指數和。他給出聯繫 p-進 Gamma 函數與高斯和的格羅斯--科布里茨公式 (Gross--Koblitz formula) 的上同調證明[8]。他指出了古典的克魯斯特曼 (Kloosterman) 特徵和與貝塞爾方程的關係：貝塞爾方程恰好是克魯斯特曼特徵和的德沃克上同調的變形方程[9]。這一工作成為了指數和 p-進研究的濫觴。德沃克指導的博士生阿道夫森 (Alan Adolphson) 與史珀柏 (Steven Sperber) 總結並發展了德沃克的方法。作為一個高峰他們證明了所謂的阿道夫森--史珀柏定理[10]。阿道夫森--史珀柏定理將代數幾何中的孤立奇點理論，米爾諾數等概念與特徵和的 L-函數的性質相聯繫，在後代產生了一系列影響。
德沃克的 p-進技術也成為晶體上同調理論的工具箱中的重要工具。一個今日被稱為「德沃克絕技」的技術，即使用弗羅本尼烏斯作用來增大收斂半徑，肇源於德沃克早期的論文較平凡的發現，竟促成了所謂「收斂晶體」這一概念的誕生[11]。
德沃克與合作者開啟了 p-進微分方程研究的先河。他關於微分方程解的收斂半徑，一般與特殊收斂多邊形，微分模的典則分解等工作成為當今 p-進微分方程研究的基礎。
獨立於蓋爾方德 (I. M. Gelfand)，卡普拉諾夫 (M. M. Kapranov) 與澤勒文斯基 (A. V. Zelevinsky)，德沃克提出了被他稱為指數模[12][13]的概念。今天，這個理論以蓋爾方德--卡普拉諾夫--澤勒文斯基 A-超幾何系統[14]而聞名。這些微分系統與環面簇上一些典則的聯絡的上同調有着密切關係。
參考資料
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