在數學里，尤其是組合數學和特殊函數領域，一個定理、等式或者表達式的q-模擬是指在引入一個新的參數q後當q→1時原定理、等式或表達式的極限。最早地研究得較為深入的q-模擬是 19世紀[1]被引入的基本超幾何級數。
q-模擬在包括分形、多重分形, 混沌動力系統的熵表達在內的多個研究領域都有應用。另外，在量子群 和 q-變形 代數的研究中也有應用。
"經典" q-模擬開始於萊昂哈德·歐拉的研究工作，後來由F. H. Jackson[2] 以及其他人[3]所擴展。
經典 q-理論開始於非負整數的q-模擬。[3] 等式
表示定義n的q-模擬為
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
階乘的q-模擬，稱作q-階乘，被定義為
![{\displaystyle {\big [}n]_{q}!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a097aaffa2be195615f6d0e6bb664885783a32)
![{\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8cdf5afe5c6b36ae31a37387a12e3a97a9abc7)
[n]q! 表示逆序對的數目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序對，Sn表示n全排列的集合, 則有
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4252d6492812e127a6fd91f3dba0c85d9b6f58ab)
特別地, 當取極限
時就得到一般的階乘公式。
根據q-階乘, 可以定義 q-二項式係數, 也被稱作高斯係數, 高斯多項式, 或高斯二項式係數:
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
q-指數定義為:
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
高斯二項式係數計算一個有限維向量空間的子空間數。令q表示一個有限域里的元素數目，則在q元有限域上n維向量空間的k維子空間數等於
當q等於1時, 得到二項式係數
F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
Ernst, Thomas. A Method for q-calculus (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2003, 10 (4): 487–525 [2011-07-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2012-03-28）.
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
![{\displaystyle {\big [}n]_{q}!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a097aaffa2be195615f6d0e6bb664885783a32)
![{\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8cdf5afe5c6b36ae31a37387a12e3a97a9abc7)
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4252d6492812e127a6fd91f3dba0c85d9b6f58ab)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
