在數學里,尤其是組合數學和特殊函數領域,一個定理、等式或者表達式的q-模擬是指在引入一個新的參數q後當q→1時原定理、等式或表達式的極限。最早地研究得較為深入的q-模擬是 19世紀[1]被引入的基本超幾何級數。 q-模擬在包括分形、多重分形, 混沌動力系統的熵表達在內的多個研究領域都有應用。另外,在量子群 和 q-變形 代數的研究中也有應用。 "經典" q-模擬開始於萊昂哈德·歐拉的研究工作,後來由F. H. Jackson[2] 以及其他人[3]所擴展。 "經典" q-理論 經典 q-理論開始於非負整數的q-模擬。[3] 等式 lim q → 1 1 − q n 1 − q = n {\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n} 表示定義n的q-模擬為 [ n ] q = 1 − q n 1 − q = 1 + q + q 2 + … + q n − 1 . {\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.} 階乘的q-模擬,稱作q-階乘,被定義為 [ n ] q ! {\displaystyle {\big [}n]_{q}!} = [ 1 ] q ⋅ [ 2 ] q ⋯ [ n − 1 ] q ⋅ [ n ] q {\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}} = 1 − q 1 − q ⋅ 1 − q 2 1 − q ⋯ 1 − q n − 1 1 − q ⋅ 1 − q n 1 − q {\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}} = 1 ⋅ ( 1 + q ) ⋯ ( 1 + q + ⋯ + q n − 2 ) ⋅ ( 1 + q + ⋯ + q n − 1 ) . {\displaystyle =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).} [n]q! 表示逆序對的數目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序對,Sn表示n全排列的集合, 則有 ∑ w ∈ S n q inv ( w ) = [ n ] q ! . {\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.} 特別地, 當取極限 q → 1 {\displaystyle q\rightarrow 1} 時就得到一般的階乘公式。 根據q-階乘, 可以定義 q-二項式係數, 也被稱作高斯係數, 高斯多項式, 或高斯二項式係數: ( n k ) q = [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! . {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.} q-指數定義為: e q x = ∑ n = 0 ∞ x n [ n ] q ! . {\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.} 組合q-模擬 高斯二項式係數計算一個有限維向量空間的子空間數。令q表示一個有限域里的元素數目,則在q元有限域上n維向量空間的k維子空間數等於 ( n k ) q . {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.} 當q等於1時, 得到二項式係數 ( n k ) . {\displaystyle {\binom {n}{k}}.} 參考文獻Loading content...外部連結Loading content...Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.