餘調

在同調論與代數餘鏈中，餘調表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍佈幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看，這與幾何的情況中的函數與拉回有關：給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函數 F ，對任何映射 f : X → Y ，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為杯積，使其具有環的結構。所以，餘調常是比同調更強的不變量。

廣義上的同調理論（其他代數或幾何結構的不變式，而不是拓樸空間的不變式）包括：代數K理論，李代數同調，晶體同調等。

奇異餘調

奇異餘調是拓樸學中一個強大的不變量，將分次交換環同任意拓樸空間聯繫起來。每個連續映射${\displaystyle f:\ X\to Y}$都決定了從Y的餘調環到X的餘調環的同態，這對X到Y的可能映射施加了強有力的限制。餘調環不同於同倫群等更微妙的不變式，對於感興趣的空間來說，實際上往往是可以計算的。

對拓樸空間X，奇異餘調的定義始於奇異鏈復形：^[1]:108 $${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$ 由定義，X的奇異同調是這鏈復形的同調（一個同態的核對前一個的像取模）。更詳細地說，${\displaystyle C_{i}}$是從標準i單純形到X（稱作「X中的奇異i單形（simplice）」）的連續映射集的自由阿貝爾群；${\displaystyle \partial _{i}}$是第i個邊界同態。i為負數時，群${\displaystyle C_{i}}$為零。

現固定一個阿貝爾群A，把每個群C_i換成其對偶群${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$；把${\displaystyle \partial _{i}}$換成對偶同態 $${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

這會把原復形的「所有箭頭都逆轉」，留下餘鏈復形 $${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

對任意整數i，X的第i個係數在A中的餘調群定義為${\displaystyle {\rm {ker}}(d_{i})/{\rm {im}}(d_{i-1}),}$記作${\displaystyle H^{i}(X,\ A).}$i為負數時，群為零。${\displaystyle C_{i}^{*}}$的元素稱作奇異i餘鏈，係數在A中。（等價地，X上的i餘鏈可從X中到A的奇異i單形集函數中辨別出來）ker(d)、im(d)中的元素分別稱作上循環和上邊界（coboundary），${\displaystyle {\rm {ker}}(d)/{\rm {im}}(d)=H^{i}(X,\ A)}$的元素則稱作餘調類（因為是上循環的等價類）。

下文時而省略係數群A不寫。通常取A為交換環R，則餘調群為R模。標準的選擇是整數環Z。

餘調的一些形式性質與同調基本一致：

• 連續映射${\displaystyle f:X\to Y}$決定了同調上的前推同態${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$與餘調上的拉回同態${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$，這使餘調成為從拓樸空間到阿貝爾群（或R模）的反變函子。
• X到Y的兩個同倫映射會在餘調引起相同的同態（如在同調上）。
• 邁爾–維托里斯正合列是同調與餘調中重要的計算工具。注意邊界同態增加（而非減少）了餘調的度；即，若空間X是開子集U與V的交，則有長正合序列：$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• 對空間X的任意子空間Y，有相關餘調群${\displaystyle H^{i}(X,Y;A).}$由長正合序列與通常的餘調群相關聯：$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• 泛係數定理用Ext群描述了餘調，即有短正合序列$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$相關的說法是，對域F，${\displaystyle H^{i}(X,F)}$正是向量空間${\displaystyle H_{i}(X,F)}$的對偶空間。
• 若X是拓樸流形或CW復形，則對大於X的維度的i，餘調群${\displaystyle H^{i}(X,A)}$為零。^[2]若X是緊流形（可能有界），或是在每個維度都有有限多單元的CW復形，且R是交換諾特環，則R模${\displaystyle H^{i}(X,\ R)}$對每個i都是有限生成模。^[3]

另一方面，餘調有同調沒有的重要結構：對任意拓樸空間X與交換環R，有稱作杯積的雙線性映射： $${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$ 從奇異餘鏈的明確公式定義。餘調類u與v的積寫作u ∪ v或只是uv，這個積使得直和 $${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$ 變為分次環，稱作X的餘調環，在如下意義上是分次交換環：^[4] $${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

對任意連續映射${\displaystyle f\colon X\to Y,}$，拉回${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$是分次R代數的同態。可見，若兩空間同倫等價，則它們的餘調環就同構。

下面是杯積的一些幾何解釋。除非另有說明，否則默認流形無界。閉流形是（不含邊界）緊流形，而流形M的閉子流形N是M的閉子集的子流形，不必是緊流形（不過，若M緊，則N必緊）。

• 令X為n維閉有向流形，則龐加萊對偶性給出同構${\displaystyle H^{i}X\cong H_{n-i}X}$。於是，X中余維度為i的閉有向子流形決定了${\displaystyle H^{i}X}$中的餘調類，稱作${\displaystyle [S].}$在這些術語中，杯積描述了子流形的相交：若S、T是余維度為i、j的子流形，並橫截地相交，則$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$當中的交S ∩ T是余維度為i+j的子流形，方向由S、T、X的方向確定。在光滑流形的情形下，若S、T不橫截着相交，則這公式仍可計算杯積${\displaystyle [S][T]}$，方法是擾動S或T使其橫截相交。
  更一般地，X不需有向，其閉子流形與法叢上的方向決定了X上的一個餘調類。若X是非緊流形，則閉子流形（不需是緊的）決定了X上的餘調類。兩種情形下，杯積仍可用子流形之交來描述。
  注意勒內·托姆在光滑14維流形上構造了度為7的積分餘調類，不是任何光滑子流形的類。^[5]:62–63另一方面，他證明了光滑流形上所有度為正的積分餘調類都有正倍數，其是光滑子流形的類。^{[5]:定理II.29}而且，流形上的所有積分餘調類都可用「偽流形」（即單純形，在余維度至少為2的閉子集之外是流形）表示。
• 對光滑流形X，德拉姆定理表明，具有實係數的X的奇異餘調與X的德拉姆餘調同構，由微分形式定義。杯積對應微分形式的積。這解釋的優點在於微分形式的積是分次交換的，而奇異餘鏈的積只在鏈同倫意義上分次交換。事實上，對係數在整數${\displaystyle \mathbb {Z} }$或${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$（p為使積在鼻上分次交換的素數）中的奇異餘鏈，無法修改其定義。餘鏈層面上分次交換性失效，導致了模p餘調上的斯廷羅德運算。

非常不正式地說，對任意拓樸空間X，${\displaystyle H^{i}(X)}$的元素都可認為是可在X上自由移動的余維度為i的子空間。舉例來說，定義元素的一種方法是給出從X到流形M的連續映射f，以及M的余維度為i的閉子流形N，且在法叢上有向。形式上說，可將結果類${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$視為位於X的子空間${\displaystyle f^{-1}(N)}$上；這是合理的，因為類${\displaystyle f^{*}([N])}$在開子集${\displaystyle X-f^{-1}(N)}$的餘調中限制為零。餘調類${\displaystyle f^{*}([N])}$可在X上自由移動，即N可被M內N的任意連續變形所代替。

例子

下面默認餘調係數為整數。

• 點的餘調環是度為0的環Z。根據同倫不變性，這也是任何可緊空間的餘調環，如歐氏空間Rⁿ。

• 

  2維環面的第一餘調群的基由所示兩個圓的類給出。

  對正整數n，N維球面${\displaystyle S^{n}}$的餘調環是${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2})}$（多項式環對給定理想的商環），x的度為n。根據上述龐加萊對偶性，x是球面上一點的類。
• 環面${\displaystyle (S^{1})^{n}}$的餘調環是度為1的n個生成器上的Z的外代數。^[6]例如，令P表示圓${\displaystyle S^{1}}$中的點，Q為2維環面${\displaystyle (S^{1})^{2}}$中的點(P,P)。則，${\displaystyle (S^{1})^{2}}$的餘調有如下形式的自由Z模基：度為0的元素1、度為1的${\displaystyle x\mathrel {\mathop {:} } =[P\times S^{1}]}$及${\displaystyle y\mathrel {\mathop {:} } =[S^{1}\times P]}$、度為2的${\displaystyle xy=[Q].}$（此處隱含地固定了環面和兩個圓的方向）注意由分次交換性可知，${\displaystyle yx=-xy=-[Q].}$
• 更一般地，令R為交換環、令X與Y為使${\displaystyle H^{*}(X,\ R)}$為所有度都是有限生成自由R模的任意拓樸空間（Y不需要假設）。則據克奈定理，積空間${\displaystyle X\times Y}$的餘調環是R代數的張量積：^{[1]:定理3.15} $${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• 實射影空間${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$的餘調環（係數位於${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$）是${\displaystyle \mathbb {Z} /2[x]/(x^{n+1})}$，x的度為1。^{[1]:定理3.19}當中x是${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$中的超平面${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n-1}}$的類，即使${\displaystyle \mathbb {RP} ^{j}}$（j為正偶數）無向也成立，因為${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$係數的龐加萊對偶性適於任意流形。
  若係數是整數，就比較複雜了。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a}}$的Z餘調具有度為2的元素y，使整個餘調是度為0的元素1張成的Z與${\displaystyle y^{i}\ (i=1,\ \ldots ,\ a)}$張成的Z/2的直和。${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a+1}}$的Z餘調也如此，只是多了一份度為2a+1的Z。^[1]:22

• 復射影空間${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$的餘調環是${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{m+1})}$，其中x的度為2。^{[1]:定理3.19}x是${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$中超平面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}}$的類；更一般地說，${\displaystyle x^{j}}$是${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$中線性子空間${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-j}}$的類。
• 虧格g ≥ 0的閉有向面X的餘調環有如下形式的自由Z模的基：度為0的元素1、度為1的${\displaystyle A_{1},\ \ldots ,\ A_{g}}$及${\displaystyle B_{1},\ \ldots ,\ B_{g}}$、度為2的點的類P。積由下面的定義給出：${\displaystyle A_{i}A_{j}=B_{i}B_{j}=0,\ \forall i,\ j;\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j);\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j),\ A_{i}B_{i}=P,\ \forall i.}$^[7]由分次交換性，可知有B_iA_i = −P
• 在任意拓樸空間上，餘調環的分次交換性都表明，對任意度為奇的餘調類x都有${\displaystyle 2x^{2}=0.}$因此，對包含1/2的環R，${\displaystyle H^{*}(X,\ R)}$中所有度為奇的元素的平方都是零。另一方面，若R是${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$或${\displaystyle \mathbb {Z} }$，則度為奇的元素不必有平方零，正如例子${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$（係數${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$）或${\displaystyle \mathbb {RP} ^{4}\times \mathbb {RP} ^{2}}$（係數${\displaystyle \mathbb {Z} }$）。

對角

杯積可視作來自對角映射${\displaystyle \Delta :\ X\to X\times X,\ x\mapsto (x,\ x).}$也就是說，對於具有餘調類${\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)}$的任意空間X、Y，有外積（或叉積）餘調類${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).}$類${\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(X,\ R)}$的杯積可定義為外積的對角線拉回：^[1]:186 $${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

另外，外積也可用杯積定義。對空間X、Y，將兩投影分別寫作${\displaystyle f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y}$，則${\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)}$兩類的外積就是 $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

龐加萊對偶性

主條目：龐加萊對偶性

龐加萊對偶性的另一種解釋是，閉有向流形的餘調環在強意義上是自對偶的。也就是說，令X為n維閉緊有向流形，F為域。則${\displaystyle H^{n}(X,\ F)}$同構於F，積

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

對每個整數i是完美配對。^[8]特別地，向量空間${\displaystyle H^{i}(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)}$具有相同的（有限）維度。同樣，積分餘調模撓、在${\displaystyle H^{n}(X,\ \mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$中取值的積是Z上的完美配對。

示性類

主條目：示性類

拓樸空間X上秩為r的有向實向量叢E決定了X上的餘調類，即歐拉類${\displaystyle \xi (E)\in H^{r}(X,\ \mathbb {Z} )}$χ。非正式地說，歐拉類是E的一般截面的零集類。E若是光滑流形X上的光滑向量叢E，這種解釋會更明確，因為此時X的一般光滑截面會在X的r余維子流形上歸於零。

在餘調取值的向量叢還有其他幾種示性類，如陳類、施蒂費爾–惠特尼類、龐特里亞金類等。

艾倫伯格–麥克蘭恩空間

主條目：艾倫伯格–麥克蘭恩空間

對任意阿貝爾群A與自然數j，有空間${\displaystyle K(A,j)}$，其第j個同倫群同構於A，其他同倫群均為零。這樣的空間叫做艾倫伯格–麥克蘭恩空間，對餘調是分類空間：有${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$的自然元素u，每個空間X上每個度為j的餘調類都是u對某連續映射${\displaystyle X\to K(A,j)}$的拉回。更確切地說，類u的拉回對每個具有CW復形餘調類型的空間X給出了雙射^[9]:177

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

當中${\displaystyle [X,Y]}$表示X到Y的連續映射的同倫類集合。

例如，空間${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$（同倫等價意義上）可看作是圓${\displaystyle S^{1}}$，所以上面的描述說，${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$的每個元素都是通過某映射${\displaystyle X\to S^{1}}$從${\displaystyle S^{1}}$是哪個一點的類u拉回的。

對係數在任意阿貝爾群A（如CW復形X）中的第一餘調，都有相關的描述：${\displaystyle H^{1}(X,A)}$與具有群A的X的伽羅瓦覆疊空間的同構類集（也稱為X上的主A叢）一一對應。對連通的X，${\displaystyle H^{1}(X,A)}$同構於${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$，曲線${\displaystyle \pi _{1}(X)}$是X的基本群。例如，${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$分類了X的雙覆疊空間，元素${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$對應平凡雙覆疊，即兩個X的不交並。

下積

主條目：下積

對任意拓樸空間X、任意整數i、j、任意交換環R，下積是雙線性映射

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

得到映射

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

使X的奇異餘調成為X的奇異餘調環上的模。

${\displaystyle i=j}$時，下積給出了自然同態

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

其是R域的同構。

例如，令X是有向流形，不必是緊的。則其餘維為i的閉有向子流形Y（不必緊）確定了${\displaystyle H^{i}(X,\ R)}$中的一個元素，X的緊有向j維子流形Z確定了${\displaystyle H_{j}(X,\ R)}$中的一個元素。下積${\displaystyle [Y]\cap [Z]\in H_{j-i}(X,\ R)}$可通過擾動Y、Z使其橫截相交，再取交集的類（即j-i維緊有向子流形）進行計算。

n維閉有向子流形X在${\displaystyle H_{n}(X,\ R)}$中具有基本類${\displaystyle [X]}$。龐加萊對偶同構 $${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$ 可通過與X的基本類的下積定義。

奇異餘調簡史

餘調是現代代數拓樸的基礎，但在同調論發展了40餘年後，人們才意識到其重要性。亨利·龐加萊證明龐加萊對偶定理用的「對偶單元結構」概念即是餘調思想的雛形，但後來才被發現。

• 餘調的前身多種多樣。^[10]20世紀20年代中期，詹姆斯·韋德爾·亞歷山大和所羅門·萊夫謝茨創立了流形上循環的相交理論。在閉有向n維流形M上，若i循環與j循環在一般位置有非空交，則其交就是(i+j-n)循環。這產生了同調類的乘法

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

這與M的餘調的杯積很相似。

• 1930年，亞歷山大首次定義了餘鏈，將空間X上的i餘鏈看作是${\displaystyle X^{i+1}}$中對角線小鄰域上的函數。
• 1931年，喬治·德拉姆將同調與微分形式聯繫起來，證明了德拉姆定理。這一結果可以更簡單地用餘調表述。
• 1934年，列夫·龐特里亞金證明了龐特里亞金對偶性定理，這是關於拓樸群的一個結果。這（在相當特殊的情形下）提供了用群特徵解釋龐加萊對偶和亞歷山大對偶的方法。
• 1935年的莫斯科一次學術會議上，安德雷·柯爾莫哥洛夫和亞歷山大引入了餘調，並試圖建立餘調積結構。
• 1936年，諾曼·斯廷羅德通過對偶化切赫同調，構造了切赫餘調。
• 1936至1938年，哈斯勒·惠特尼與愛德華·切赫發展了杯積（使餘調變為分次環）和下積，意識到龐加萊對偶性可用下積表示。他們的理論仍局限於有限多胞腔的復形。
• 1944年，塞繆爾·艾倫伯格克服了技術限制，給出了奇異同調和奇異餘調的現代定義。
• 1945年，艾倫伯格和斯廷羅德提出了艾倫伯格-斯廷羅德公理，下詳。在1952年他們合著的《代數拓樸基礎》（Foundations of Algebraic Topology）一書中，他們證明了現有的同調和餘調確實滿足他們的公理。、
• 1946年，讓·勒雷定義了層餘調。
• 1948年，埃德溫·斯潘尼爾在亞歷山大和柯爾莫哥洛夫的基礎上，提出了亞歷山大–斯潘尼爾餘調。

層餘調

主條目：層餘調

層餘調是奇異餘調的豐富推廣，允許更一般的係數，而不限於阿貝爾群。對拓樸空間X上任意的阿貝爾群層，有餘調群${\displaystyle H^{i}(X,\ E)}$（i為整數）。特別地，X上的常層與阿貝爾群A相關聯的情形下，所得的群${\displaystyle H^{i}(X,\ A)}$與X的奇異餘調（流形或CW復形）重合（並非對任意X都成立）。20世紀50年代開始，層餘調成為了代數幾何與複分析的核心部分，部分原因是正則函數層或全純函數層的重要性。

亞歷山大·格羅滕迪克用同調代數優雅地定義、描述了層餘調。其要點在於固定空間X，並將層餘調視作從X上的阿貝爾範疇層到阿貝爾群的函子。首先，取從X上的層E到其在X上的非局部截面的阿貝爾群的函子，即E(X)，它是左正合函子，而不必右正合。格羅滕迪克定義層餘調群為左正合函子${\displaystyle E\mapsto E(X)}$的右導出函子。^[11]

這定義可以有很多推廣。例如，可定義拓樸空間X的餘調，其係數可以在層的任意復形中，早先稱作超餘調（現在則只叫做「餘調」）。從這角度來看，層餘調成了從X上的層導出範疇到阿貝爾群的函子序列。

更廣義地講，「餘調」常用作阿貝爾範疇上的左正合函子的右導出函子，而「同調」則是右正合函子的左導出函子。例如，對於環R，Tor群${\displaystyle {\rm {Tor}}_{i}^{R}(M,\ N)}$在每個簇形成「同調」，即R模的張量積${\displaystyle M\otimes _{R}N}$的左導出函子。同樣，Ext群${\displaystyle {\rm {Ext}}_{R}^{i}(M,\ N)}$可視作是每個簇中的「餘調」，c即Hom函子${\displaystyle {\rm {Hom}}_{R}(M,\ N)}$的右導出函子。

層餘調與一種Ext群相關：對拓樸空間X上的層E，${\displaystyle H^{i}(X,\ E)}$同構於${\displaystyle {\rm {Ext}}^{i}(\mathbb {Z} _{X},\ E)}$，當中${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$表示與整數Z相關聯的常層，Ext取X上的層的阿貝爾範疇。

簇的餘調

有很多構造可計算代數簇的餘調。最簡單的情形是確定${\displaystyle 0}$特徵域上光滑射影簇的餘調。霍奇理論有叫做霍奇結構的工具，有助於計算這些簇類的餘調（增加了更精細的信息）。最簡單的情形下，${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$中的光滑超平面的餘調可僅根據多項式的度確定。

考慮有限或特徵為${\displaystyle p}$的域上的簇，需要更有力的工具，因為同調/餘調的經典定義被打破了：有限域上的簇只能是有限點集。格羅滕迪克提出了運用格羅滕迪克拓樸的想法，並用平展拓樸上的層餘調定義有限域上的簇的餘調論。利用特徵${\displaystyle p}$域上的簇的平展拓樸，可構造${\displaystyle \ell }$進餘調（${\displaystyle \ell \neq p}$）：

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }}$

若有有限類型的概形

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

則只要簇在兩個域上都光滑，${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$的貝蒂餘調和${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$的${\displaystyle \ell }$進餘調的維度就相等。此外，還有韋爾餘調論，與奇異餘調的行為類似。有一種猜想，其理論動機是所有韋爾餘調論的基礎。

另一個有用的計算工具是爆破序列（blowup sequence）。給定余維度${\displaystyle \geq 2}$的子概形${\displaystyle Z\subset X}$，有笛卡兒平方

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

由此，有相關的長正合序列

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

若子簇${\displaystyle Z}$光滑，則連通態射均平凡，因此

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

此外，利用法叢${\displaystyle N_{Z/X}}$的陳類，爆破的餘調環很容易計算，公式為

${\displaystyle H^{*}()}$

公理與廣義餘調論

拓樸空間的餘調有多種定義（如奇異餘調、切赫餘調、亞歷山大–斯潘尼爾餘調或層餘調）（此處層餘調只考慮係數在常層中）。這些理論對某些空間給出了不同結果，但對一大類空間都是一致的，這從公理上最容易理解：有一系列屬性稱作艾倫伯格-斯廷羅德公理，任意兩個滿足其的構造至少在所有CW復形上都一致。^[9]:95同調論和餘調論都有公理版本。有些理論可作為計算特殊拓樸空間的奇異餘調的工具，如單純復形的單純餘調、CW復形的胞腔餘調、光滑流形的德拉姆餘調。

餘調論的艾倫伯格-斯廷羅德公理之一是維度公理：若P是單點，則${\displaystyle H^{i}(P)=0,\ \forall i\neq 0.}$1960年左右，George W. Whitehead發現，完全省略維度公理很有意義：這就產生了廣義（上）同調論（定義如下）。K理論或復配邊之類的廣義餘調論，提供了拓樸空間的豐富信息，且是奇異餘調無法直接提供的（這時，奇異餘調通常叫做「普通餘調」）。

由定義，廣義同調論是從CW-拓樸對範疇${\displaystyle (X,\ A)}$（於是X是CW復形，A是子復形）到阿貝爾群範疇的函子序列${\displaystyle h_{i}}$（i是整數），以及自然變換${\displaystyle \partial _{i}:\ h_{i}(X,\ A)\to h_{i-1}(A)}$，稱作邊界同態（其中${\displaystyle h_{i-1}(A)}$是${\displaystyle h_{i-1}(A,\ \emptyset )}$的簡寫）。公理如下：

1. 同倫：若${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$同倫於${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$，則同調上的誘導同態相同。
2. 正合性：由結論f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每對(X,A)都在同調上誘導了長正合序列：$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. 切除：若X是子復形A、B的並，則對每個i，包含${\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)}$會誘導同構$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$
4. 可加性：若(X,A)是一組對${\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })}$的不交並，則對每個i，包含${\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)}$會誘導從直積出發的同構：$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$

廣義餘調論的公理大致是通過翻轉箭頭得到的。更詳細地說，廣義餘調論是一系列從CW-拓樸對範疇到阿貝爾群範疇的反變函子序列${\displaystyle h^{i}}$（i是整數），及自然變換d: hⁱ(A) → hⁱ⁺¹(X,A)，稱作邊界同態 （其中${\displaystyle h^{i}(A)}$表示${\displaystyle h^{i}(A,\ \emptyset )}$。公理如下：

1. 同倫：同倫映射在餘調誘導相同的同態。
2. 正合性：由結論f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每對(X,A)都在餘調上誘導了長正合序列：$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. 切除：若X是子復形A、B的並，則對每個i，包含${\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)}$會誘導同構$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$
4. 可加性：若(X,A)是一組對${\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })}$的不交並，則對每個i，包含${\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)}$會誘導到達積群的同構：$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$

譜決定了廣義（上）同調論。Brown、Whitehead、Adams得到的一個基本結果是：所有廣義同調論都來自一個譜，所有廣義餘調論也來自一個譜。^[12]這推廣了艾倫伯格–麥克蘭恩空間對普通餘調的可表性。

一個微妙問題是，從穩定同調範疇（譜的同倫範疇）到CW-拓樸對上的廣義同調論的函子，雖然給出了同構類上的雙射，但是不等價；在穩定同倫範疇中，有非零映射（即幻影映射（英語：phantom map）），其誘導了CW-拓樸對上同倫論間的零映射。同樣，從穩定同倫範疇到XW-拓樸對上的廣義餘調論的函子也不等價。^[13]正是穩定同倫範疇具有三角化之類良好性質。

要將（上）同調論的定義域從CW復形推廣到任意拓樸空間，一種標準方法是加入公理：所有弱同倫等價都會在（上）同調誘導一個同構（對奇異（上）同調是正確的，但層餘調等則不然）。由於每個空間都可從CW復形得到弱同倫等價，這公理將所有空間的（上）同調論還原為CW復形的相應理論。^[14]

廣義餘調論的一些例子：

• 穩定上同倫群${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$相應的同調論更常用：穩定同倫群${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• 各種配邊群，從空間到流形的所有映射的角度研究空間：無向配邊${\displaystyle MO^{*}(X)}$有向配邊${\displaystyle MSO^{*}(X),}$復配邊${\displaystyle MU^{*}(X),}$等等。復配邊在同倫論中尤為強大，經由丹尼爾·奎倫的定理，同形式群密切相關。
• 拓樸K理論的各種形式，從空間上所有向量叢的角度研究空間：${\displaystyle KO^{*}(X)}$（實周期K理論）、${\displaystyle ko^{*}(X)}$（實連通K理論）、${\displaystyle K^{*}(X)}$（復周期K理論）、${\displaystyle ku^{*}(X)}$（復連通K理論），等等。
• 布朗-彼得森餘調、莫拉瓦K理論、莫拉瓦E理論等等由復配邊建立的理論。
• 各種橢圓餘調。

其中許多理論比普通餘調的信息更豐富，但更難計算。

餘調論E若滿足${\displaystyle E^{*}(X)}$對每個空間X都具有分次環的結構，則稱E具有乘性。用譜的語言來說，有幾個更精確的環譜概念，如E_∞環譜，其中的積在很強的意義上是交換、結合的。

另見

• 平展餘調
• 伽羅瓦餘調
• 群餘調
• 李代數餘調
• 非阿貝爾餘調
• 量子餘調

腳註

1. Hatcher 2001.
2. Hatcher 2001，Theorem 3.5; Dold 1972，Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4.
3. Dold 1972，Propositions IV.8.12 and V.4.11.
4. Hatcher 2001，Theorem 3.11.
5. Thom 1954.
6. Hatcher 2001，Example 3.16.
7. Hatcher 2001，Example 3.7.
8. Hatcher 2001，Proposition 3.38.
9. May 1999.
10. Dieudonné 1989，Section IV.3.
11. Hartshorne 1977，Section III.2.
12. Switzer 1975，第117, 331頁，Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks.
13. Are spectra really the same as cohomology theories?. MathOverflow.
14. Switzer 1975，7.68.

參考文獻

• Dieudonné, Jean, History of Algebraic and Differential Topology, Birkhäuser, 1989, ISBN 0-8176-3388-X, MR 0995842 含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Dold, Albrecht, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602
• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman, Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, ISBN 9780691627236, MR 0050886
• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Hazewinkel, Michiel (編), Cohomology, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• May, J. Peter, A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, 1999, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278 互聯網檔案館的存檔，存檔日期[日期錯誤] (2)^{[日期不符]}，.
• Switzer, Robert, Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, 1975, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836
• Thom, René, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Commentarii Mathematici Helvetici, 1954, 28: 17–86, MR 0061823, S2CID 120243638, doi:10.1007/BF02566923^{[失效連結]}