零階邏輯

零階邏輯是在與布林函數、一元謂詞演算、命題邏輯或句子邏輯有關主題的從業人員中流行的術語。使用這個術語的好處是它確立了更高的抽象層次，在其中上述這些主題之間的很無關緊要的區別可以在這個中肯的同構下被包容。

向着最初的方向，表1列出了具體類型X × Y → B和抽象類型 B × B → B的十六個函數在零階邏輯的不同語言中的等價表達。

表1. 在兩個變數上的命題形式

L1	L2	L3	L4	L5	L6
	x :	1 1 0 0
	y :	1 0 1 0
f0	f0000	0 0 0 0	( )	假	0
f1	f0001	0 0 0 1	(x)(y)	非x且非y	¬x ∧ ¬y
f2	f0010	0 0 1 0	(x) y	y且非x	¬x ∧ y
f3	f0011	0 0 1 1	(x)	非x	¬x
f4	f0100	0 1 0 0	x (y)	x且非y	x ∧ ¬y
f5	f0101	0 1 0 1	(y)	非y	¬y
f6	f0110	0 1 1 0	(x, y)	x不等於y	x ≠ y
f7	f0111	0 1 1 1	(x y)	不x且y	¬x ∨ ¬y
f8	f1000	1 0 0 0	x y	x且y	x ∧ y
f9	f1001	1 0 0 1	((x, y))	x等於y	x = y
f10	f1010	1 0 1 0	y	y	y
f11	f1011	1 0 1 1	(x (y))	非x若非y	x → y
f12	f1100	1 1 0 0	x	x	x
f13	f1101	1 1 0 1	((x) y)	非y若非x	x ← y
f14	f1110	1 1 1 0	((x)(y))	x或y	x ∨ y
f15	f1111	1 1 1 1	(( ))	真	1

六種語言

對十六個布林函數的六種語言按如下次序方便的描述：

• 語言L₃描述每個布林函數f : B² → B，通過四個布林值的序列 (f(1,1), f(1,0), f(0,1), f(0,0))的方式。這樣的一個序列，可能在另一個次序下，並可能帶有邏輯值F和T分別替代布林值0和1，並通常顯示為真值表中的一列。

• 語言L₂以f_i的形式列出十六個函數，這裏的索引i是從L₃中的布林值序列形成的位元串。

• 語言L₁符號表示布林函數f_i帶有同L₂中的二進制索引等價的十進制索引i。

• 語言L₄使用邏輯連結詞表達了十六個函數，通過以乘積的方式連接函數名字或命題表達式的方式，加上極小否定算子家族來表示，用下列各種符號給出幾個極小否定算子：

${\displaystyle {\begin{matrix}(\ )&=&0&=&{\mbox{false}}\\(x)&=&{\tilde {x}}&=&x'\\(x,y)&=&{\tilde {x}}y\lor x{\tilde {y}}&=&x'y\lor xy'\\(x,y,z)&=&{\tilde {x}}yz\lor x{\tilde {y}}z\lor xy{\tilde {z}}&=&x'yz\lor xy'z\lor xyz'\end{matrix}}}$

還要注意${\displaystyle (x,y)\!}$是同${\displaystyle x+y\!}$與${\displaystyle x\neq y}$相同的函數，並且${\displaystyle (x,y)\!}$和${\displaystyle (x,y,z)\!}$的包含析取表示可以替代為排斥析取而不影響意義，因為參與析取的項已經是分離了的。但是，函數${\displaystyle (x,y,z)\!}$和函數${\displaystyle x+y+z\!}$不是相同的東西。

• 語言L₅列出了這十六個函數的日常語言表達，它們是多種同義的表達中最簡單的。

• 語言L₆以在形式邏輯中常用的一些符號表達了十六個函數。

參見

• 布林函數
• 真值表
• 邏輯等價
• 邏輯條件
• 邏輯與非
• 邏輯或非