集族

在集合論和有關的數學分支中，給定集合S 的子集的類F 叫做S 的子集族（或稱S 上的集族）。更一般的說，無論什麼任何集合的類都叫做集族。

例子

• 冪集P(S )是在S 上的集族。
• n元素集合S 的k 元素子集S ^{(k )}形成了集族。
• 所有序數的類Ord是「大」集族；它自身不是集合而是真類。
• 令S = {a,b,c,1,2}。（在多重集含義上的） S 上集族的一個例子是當 A₁ = {a,b,c}，A₂ = {1,2}，A₃ = {1,2}，A₄ = {a,b,1} 時的 F = {A₁, A₂, A₃, A₄}。
• 樣本空間的某些子集組成的集合叫做集族。

特例

• 斯伯納族（英語：Sperner_family）是一個其中任何集合都不是其他集合的子集的集族。斯伯納定理（英語：Sperner%27s_theorem）限定了斯伯納族的最大階。
• 赫利族（英語：Helly_family）是一個任何交集為空的最小子族的階有界的集族。赫利定理（英語：Helly%27s_theorem）表明，有限維歐幾里得空間中的凸集形成了赫利族。

性質

• S 的任何子集族自身都是冪集P(S )的子集。
• 不論什麼集族都是所有集合的真類（全集）V的子類。
• 由菲利浦·赫爾提出的赫爾婚姻定理給出了非空集(允許重複)的有限族具有互異代表元系的充要條件。^[1]

C族

最簡單的集族是由有限集M 的全體子集所構成的，簡稱為C 族。^[2]C 族有以下基本的性質： 設${\displaystyle \left|M\right|=n}$,則集合M 的全部子集構成的類M* 的階為${\displaystyle 2^{n}}$， 即${\displaystyle \left|M*\right|=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots +C_{n}^{n}=2^{n}}$

參見

1. 存档副本. [2020-07-12]. （原始內容存檔於2020-07-13）.
2. 劉詩雄《數學奧林匹克小叢書·高中卷·集合》，2012，第43頁