部分分式積分法

部分分式積分法，即通過將原函數拆分為部分分式來簡化積分步驟，是計算積分時的一個常用技巧。任何有理函數都可拆分為多個多項式和部分分式的和，每個部分分式中的分子次數小於分母，然後根據積分表及利用其他積分技巧，將每個部分分式積分，就得到原函數的積分。

例子

以下是一個簡單的例子。計算${\displaystyle \int {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}\,dx}$時，需要先將它拆分為部分分式：

${\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}}$

通分得到：

${\displaystyle 10x^{2}+12x+20=A(x^{2}+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,}$

整理，原式變為：

${\displaystyle 10x^{2}+12x+20=(A+B)x^{2}+(2A-2B+C)x+(4A-2C)\,}$

因此，

${\displaystyle A+B=10\,}$

${\displaystyle 2A-2B+C=12\,}$

${\displaystyle 4A-2C=20\,}$

解方程組，得到：

${\displaystyle A=7\,}$

${\displaystyle B=3\,}$

${\displaystyle C=4\,}$

所以：

${\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}}$

即：

${\displaystyle \int {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}\,dx=\int ({7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4})\,dx=\int {7 \over x-2}\,dx+\int {3x+4 \over x^{2}+2x+4}\,dx}$

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利用換元積分法，將${\displaystyle x-2\,}$與${\displaystyle x^{2}+2x+4\,}$分別換元，便得到結果：

${\displaystyle \int {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}\,dx}$

${\displaystyle =7\ln |x-2|+\int {{{\frac {3}{2}}(2x+2)+1} \over x^{2}+2x+4}\,dx}$

${\displaystyle =7\ln |x-2|+{\frac {3}{2}}\int {2x+2 \over x^{2}+2x+4}\,dx+\int {1 \over (x+1)^{2}+3}\,dx}$

${\displaystyle =7\ln |x-2|+{\frac {3}{2}}\ln |x^{2}+2x+4|+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan({x+1 \over {\sqrt {3}}})+C}$

外部連結

• 拆分為部分分式 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 在線積分器 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）