鄰域系

定義

${\displaystyle X}$的映射${\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))}$（${\displaystyle P(P(X))}$指${\displaystyle X}$的冪集的冪集）。這樣${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$將${\displaystyle X}$的每個點${\displaystyle x}$映射至${\displaystyle X}$的子集族${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$。${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$稱為${\displaystyle x}$的鄰域系（或稱鄰域系統，${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$的元素稱為${\displaystyle x}$的鄰域），若且唯若對任意的${\displaystyle x\in X}$，${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$滿足如下鄰域公理：

• U₁：若${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$，則${\displaystyle x\in U}$。
• U₂：若${\displaystyle U,V\in {\mathfrak {U}}(x)}$，則${\displaystyle U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)}$。（鄰域系對鄰域的有限交封閉）。
• U₃：若${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$，${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X}$，則${\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)}$。
• U₄：若${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)}$，則存在${\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)}$，使${\displaystyle V\subseteq U}$且對所有${\displaystyle y\in V}$，有${\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(y)}$。

從鄰域出發定義其它拓撲空間的基礎概念：

• 從鄰域定義開集：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle O}$是開集，若且唯若對任意${\displaystyle x\in O}$，有${\displaystyle O\in {\mathfrak {U}}(x)}$。（${\displaystyle O}$是其中每個點的鄰域）。
• 從鄰域定義開核：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的開核${\displaystyle A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}}$。
• 從鄰域定義閉包：${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$的閉包${\displaystyle {\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}}$。

參照濾子的定義。給定點x，其鄰域系${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$恰構成了一個濾子，稱為鄰域濾子。

鄰域基

點${\displaystyle x}$的鄰域基或局部基${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$，就是鄰域濾子${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$的濾子基。它是${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)}$的子集，滿足：每個x的鄰域 ${\displaystyle U}$ 都存在${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(x)}$，使${\displaystyle B\subseteq U}$。

（${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)\subseteq {\mathfrak {U}}(x)}$，使${\displaystyle \forall U\in {\mathfrak {U}}(x)}$，${\displaystyle \exists B\in {\mathcal {B}}(x):B\subseteq U}$）

反之，給出鄰域基${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$，可以反推出相應的鄰域濾子：${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\{U|\exists B\in {\mathcal {B}}(x),B\subseteq U\subseteq X\}}$。^[1]

例子

• 一個點的鄰域系也平凡的是這個點的鄰域基。

• 若拓撲空間X是不可分拓撲，則任何點 x 的鄰域系是整個空間${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\{X\}}$

• 在度量空間中，對於任何點 x，圍繞 x 有半徑 1/n 的開球序列形成可數鄰域基 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}}$。這意味着所有度量空間都是第一可數的。

• 在半賦范空間中，就是帶有由半範數引發的拓撲的向量空間，所有鄰域系統可以通過點 0 的鄰域系統的平移來構造，

${\displaystyle {\mathcal {V}}(x)={\mathcal {V}}(0)+x}$。

這是因為向量加法在引發的拓撲中是分離連續的。所以這個拓撲確定自它的在原點的鄰域系。更一般的說，只要拓撲是通過平移不變度量或偽度量定義的以上結論就是真的。

• 非空集合 A 的所有鄰域系是叫做 A 的鄰域濾子的濾子。

• 拓撲空間 X 中所有點 x 的局部基的併集是 X 的基。

參見

• 鄰域
• 基 (拓撲學)
• 局部凸拓撲向量空間
• 濾子 (數學)

註釋

1. Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)