達朗貝爾佯謬

在流體動力學中，達朗貝爾佯謬（英語：d'Alembert's paradox，又稱為流體動力學佯謬 ）是法國數學家讓·勒朗·達朗貝爾在1752年提出的矛盾。^[1]達朗貝爾證明，對於不可壓縮和無粘性的勢流，當物體相對於流體以恆定速度移動時，物體將不會受到任何阻力。^[2] 但是實際上所觀測到相對於流體（比如空氣和水 ）運動的物體，尤其在與高雷諾數相對應的高速情形，阻力卻相當可觀，這點與零阻力的證明直接矛盾。而這也是可逆性佯謬的具體例子。^[3]

讓·勒朗·達朗貝爾（1717-1783）

從實驗可以知道，除了在超流體的情況下，放置在穩定流體中的物體總是存在着阻力。由實驗室實驗，該圖顯示，球體的阻力係數C_d是雷諾數Re的函數。深色線表示表面光滑的球體，淺色線表示表面粗糙的球體。沿線的數字表示幾種流動狀態和阻力係數的相關變化：
•2：吸附流（ 斯托克斯流 ）和穩態分離流 。
•3：分離的非穩態流體，在分離的上方流體具有層流邊界層 ，並產生渦街。
•4：在流體分離之前，在流體上側具有層狀邊界層的分離的非穩態流體，球體下方流體是混亂的湍流尾流。
•5：超臨界分離流，具有湍流邊界層。

達朗貝爾於1749年在柏林學院對流動阻力問題的研究中得出結論：「在我看來，這個儘可能以嚴謹態度發展起來的理論（勢流），至少在一些情況下，給出了一個完全消失的阻力，這個奇異的佯謬，我留待未來的幾何學家來闡明。（幾何學家即為數學家，在當時這兩個術語可以互換使用）^[4]」物理佯謬（英語：Physical paradox）指出該理論存在着缺陷。

因此，流體力學從一開始就被工程師們質疑，以諾貝爾獎獲得者西里爾·欣謝爾伍德爵士的話來說^[5]，這導致了理論流體力學領域（解釋無法觀察到的現象）與水力學（觀察無法解釋的現象）領域之間不幸發生分裂 。

根據科學共識，佯謬的成因是由於忽略了粘度效應。隨着與科學實驗結合，粘性流體摩擦理論在19世紀取得了巨大的進步。1904年，路德維希·普朗特發現並描述了薄邊界層，從而解決了該佯謬。即使在非常高的雷諾數下，粘滯力依然會產生薄邊界層。對於流線型物體，這些粘滯力會產生摩擦阻力（英語：Skin friction drag），對於鈍體（bluff body），還會額外導致流體分離以及物體背後的低壓尾流，進而造成形狀阻力（Form drag）。^{[6] [7] [8] [9]}

流體力學學界的普遍觀點是，從實際的角度來看，這個佯謬是按照普朗特提出的思路解決的。^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]} 但就像許多其他涉及納維-斯托克斯方程（用於描述粘性流動）的流體問題一樣，該佯謬的正式數學證明仍付之闕如，且難以給出。

粘性摩擦力：聖維南、納維和斯托克斯

聖維南初步提出佯謬的解決方案 ，他對粘性流體的摩擦力進行了建模。聖維南在1847年陳述道： ^[12]

但是，如果人們不使用理想流體（上世紀幾何學界的計算對象），而是使用由有限數量的分子組成的真實流體，且其運動狀態有着不等量、與表面元素相切的壓力或力，那麼人們就發現了另一個結果。我們把這作用力的切分量稱為流體摩擦力，從笛卡爾和牛頓開始，到文丘里為止，就一直使用這名字。

不久之後，在1851年， 斯托克斯計算出一顆球體在斯托克斯流中所受到的阻力，被稱為斯托克斯定律 。 ^[13]斯托克斯流指的是，用於描述粘性液體運動的納維-斯托克斯方程在低雷諾數的極限情形。 ^[14]

然而，當以無因次形式來研究流動問題時，粘性納維-斯托克斯方程會增加雷諾數，從而收斂至無粘性歐拉方程。這表明流動應收斂於勢流理論的無粘性解，即具有達朗貝爾佯謬的零阻力。關於這點，在阻力和流體觀察的實驗測量中，沒有發現這方面的證據。^[15]在19世紀下半葉，這又再度引發了流體力學的應用性問題。

非黏性分離流體：克希荷夫和瑞利

穩定且分離的不可壓縮勢流在二維板周圍流動， ^[16]並以恆壓沿着兩條與二維板邊緣分離的自由流線流動。

在19世紀下半葉，焦點再次轉回使用非粘性流理論來描述流體阻力(假設粘度在高雷諾數下變得不那麼重要)。 克希荷夫 ^[17]和瑞利 ^[18]提出了一種模型，基於亥姆霍茲 ^[19]的自由流線理論以及在物體背後充滿著穩定尾流。尾流區域的假設包括：「流速等於物體速度」和「壓力恆定」。該尾流區域與物體外的勢流隔離，在交界處，因為切線速度不連續所產生的漩渦帶（vortex sheets）引發了尾流。^{[20] [21]}為了在物體上產生非零阻力，尾流區域必須無窮延伸。而克希荷夫流垂直於平板確實滿足了這個條件。該理論正確地指出阻力與速度的平方成正比。 ^[22]起初，該理論只適用於與尖銳邊緣分離的流動。後來，在1907年，列維 - 齊維塔將其擴展為與平滑彎曲邊界分離的流動。 ^[23]

人們很快就發現，這種穩流並不穩定，因為漩渦帶會產生所謂的開爾文 - 亥姆霍茲不穩定性 。 ^[21]但這種穩流模型仍被進一步研究，希望能給出一個合理的阻力估計。瑞利問道：「.....阻力的計算是否會受到這種情況的實質性影響，亦即，所承受的壓力必須幾乎獨立於障礙物後部某一段距離所發生的事情，而那邊是不穩定性最早浮現的地方。」^[18]

然而，此方法招致了對其基本原理的異議：開爾文觀察到，如果一個板子在流體中以恆速運動（除尾流之外，其餘部份均遠離該板），尾流速度等於板子速度。從理論得出，尾流的無窮延伸（隨着與板子的距離增加而擴大）會導致尾流產生無窮動能，這一點必須從物理學的角度予以否定。^{[22] [24]}此外，觀察到的板子的正面和背面之間的壓力差以及產生的阻力遠比預測來得大：對於垂直於流動的平板，預測的阻力係數是C_D = 0.88，而在實驗中發現C_D= 2.0。這主要是源自於平板尾流側的吸力，由真實尾流中的非穩流所引起（與流速恆定，與平板速度等速的理論假設矛盾）。^[25]

因此，這一理論不能令人滿意地解釋物體在流體中移動的阻力。不過它可以應用於所謂的腔流（cavity flows），即假定在物體後面存在一個真空腔 ，而不是充滿流體的尾流。 ^{[21] [22] [26]}

薄邊界層：普朗特

圓柱體周圍流動的壓力分佈。藍色虛線是根據勢流理論的壓力分佈，導致了達朗貝爾佯謬。藍色實線是在高雷諾數實驗中發現的平均壓力分佈。壓力是從圓柱表面徑向放射;正壓在圓柱內，朝向中心，而負壓繪於圓柱外。

德國物理學家路德維希·普朗特在1904年提出，這種可觀阻力可能是源於薄粘性邊界層的影響。 ^[27]普朗特提出的觀點是，在高速及高雷諾數的情況，由於無滑動條件（英語：No-slip condition），在靠近體壁的薄層流速有着很大的差異。這導致邊界層中渦量的產生以及動能的粘性耗散 。對於在分離流中的鈍體，最終會導致無粘性理論中所缺乏的能量耗散。尾流區域中的低壓會引起形狀阻力 ，並且由於壁面的粘性剪應力，形狀阻力可能還比摩擦阻力大。 ^[15]

有證據表明普朗特所說的情況發生在高雷諾數流動中的鈍體，可以從圍繞圓柱體的突然被啟動之流動（impulsively started flow）中看到。流體最初類似於勢流，接着在後滯點附近分離。此後，分離點向上移動，形成低壓分離流區域。^[15]

普朗特提出這樣的假設：粘性效應在靠近固體邊界的薄層（邊界層）中很重要，在邊界層外，粘度不會造成任何影響。當粘度降低時，邊界層厚度（英語：Boundary layer thickness）會隨之變小。由非線性納維-斯托克斯方程描述的完整粘性流動問題通常在數學上是不可解的。然而，使用他的假設（並透過實驗支持），普朗特能夠推導出邊界層內部流動的近似模型，稱為「邊界層理論」；而邊界層外的流動可以用非粘性流理論處理。邊界層理論適用於匹配漸近展開的方法，用於推導近似解。最簡單的例子是與入射流平行的平板，由邊界層理論可得出（摩擦）阻力，而所有無粘流理論將預測零阻力。對於航空領域來說，普朗特理論的重要之處在於可以直接應用到如翼型之類的流線型機體，這些機體除了受到表面摩擦力之外，還受到形狀阻力的影響。形狀阻力產生的主因在於，翼型周圍的壓力分佈會受到邊界層和稀薄的尾流的影響。^{[8] [28]}

開放性問題

要驗證普朗特所建議的方案是否正確，也就是小原因（對於大雷諾數來說，粘度非常小）是否會產生大影響（實質上的阻力），可能是非常困難的一件事。

數學家加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff）在其1950年出版的《流體動力學》一書的開篇章節中^[29]論述了流體力學的一些佯謬（包括達朗貝爾佯謬），並在其正式解決方法中明確表達了一個疑惑：

「再者，我認為將這些都歸咎於對粘度的忽視，是無根據過度簡化，根本就在於更深層次，缺乏精確的演繹嚴謹性，而這個重要性經常被物理學家和工程師輕視。」^[30]

特別是在達朗貝爾佯謬上，他考慮了另一種產生阻力的可能途徑：歐拉方程勢流解的不穩定性。伯克霍夫說：

「無論如何，前面的段落清楚地表明非粘性流動的理論並不完善。實際上，導致『穩定流動』概念的推理是不確定的；沒有嚴格的理由來消除作為獨立變量的時間。因此，儘管狄利克雷流動（勢流解）以及其他穩態流動在數學上是可能的，但沒有理由去假設任何穩態流動都是固定不變的。」^[31]

1951年，數學家斯托克( James J. Stoker)在對伯克霍夫的書的評論^[32]中，對該書的第一章提出尖銳的批評：

「評論家發現很難理解第一章是為哪一類讀者寫的。對於熟悉流體動力學的讀者來說，被引用為佯謬的大多數情況要麼屬於錯誤範疇，早已被糾正，要麼屬於理論與實驗之間存在差異的範疇，其原因也已經得到了很好的理解。另一方面，外行人很可能會因為閱讀本章節，對流體動力學中一些重要和有用的成就產生錯誤觀點。」

在1960年的伯克霍夫《流體動力學》第二版和修訂版中，上面兩個陳述不再出現。 ^[33]

三十年後，斯圖爾特森審查了對達朗貝爾佯謬主題所取得的成就的重要性和實用性。他在1981年長篇調查文章開篇道： ^[10]

「由於經典的無粘性理論導致了一個明顯荒謬的結論，即剛體穿過均勻速度的流體所受到的阻力為零，在過去的一百多年來，人們作出了巨大的努力，提出了各種不同的理論，並解釋了流體中極小的摩擦力是如何對流動特性產生重大影響。所用的方法是實驗觀察，經常性的大規模計算，以及對於摩擦趨於零時的解，對其進行漸近形式結構分析。尤其在過去十年裏，這種三管齊下的進攻取得了相當大的成功，所以現在佯謬可以被視為基本上解決了。」

對於物理學中的許多佯謬，解決方案通常超前現有理論。^[34]就達朗貝爾佯謬的例子而言，普朗特透過粘性邊界層（在高雷諾數下不會消失^[27]）的發現和建模，提供了解決佯謬的基本機制。

霍夫曼和約翰遜於2010年8月在《數學流體力學期刊》上 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）發表了新的解決方案，該解析與上面第二個伯克霍夫的引言有關，完全不同於普朗特 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）基於邊界層理論的解析。新的解決方案基於數學的分析和計算，發現零阻力勢流是歐拉方程是非物理且不穩定的形式數學解，作為從根本上不穩定的物理流（滿足滑動邊界條件），在分離處會產生湍流尾流，進而形成阻力。 新的解決方案對普朗特的解釋（基於邊界層的概念，由無滑動邊界條件引起）提出了質疑，並為霍夫曼和約翰遜在其著作《 計算湍流不可壓縮流》（Springer，2007年） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）所探討的計算流體力學，開闢了新的可能性。新解決方案也導致全新的飛行理論 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）誕生。

穩態勢流中的零阻力證明

圓柱體位於均勻洪流中，流線用於表示圍繞在該柱旁的勢流。

推導達朗貝爾悖論有三個主要假設，分別是穩流的不可壓縮性、無粘性和無旋性 。 ^[35] 無粘性流體是由歐拉方程所描述，連同其它兩個條件列出如下

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(incompressibility)}}\\&{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(irrotational)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(Euler equation)}}\end{aligned}}}$

其中u表示流速 ，p表示壓力 ，ρ表示密度 ，∇是梯度算子。

我們修改歐拉方程中的第二項如下：

${\displaystyle \left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)}$

其中第一個等式為向量恆等式 ，第二個等式則使用無旋性條件。此外，對於每一個無旋流，存在一個速度位φ，使得u =∇φ。將這些代入動量守恆方程後

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\boldsymbol {0}}.}$

因此，括號之間的數量必定是常數（透過重新定義φ可以消除任何t-依賴性）。假設流體在無窮遠處靜止並將那裏的壓力定義為零，則該常數為零，因此

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)}$

上式即為非穩態勢流的伯努利方程。

零阻力

現在，假設一個物體以恆速v隨着流體移動，流體在無窮遠處靜止。然後流體的速度場必須隨着物體位置而調整，所以它的形式為u(x, t) = u(x − v t, 0)，其中x是空間坐標向量，因此：

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

由於u = ∇φ，因此這可以對x進行積分：

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).}$

流體施加在物體上的力F由面積分給出

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S}$

其中A表示物體表面積， n表示物體表面積上的法向量 。但它從（2）得出

${\displaystyle p=-\rho {\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}{\Bigr )}=\rho {\Bigl (}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t){\Bigr )},}$

因此

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,}$

關於R(t)的部分，其對積分的貢獻等於零。

此時，以向量分量來運算會變得更加容易。該等式的第k個分量為

${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)}$

設V是流體佔據的體積。散度定理說明

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.}$

右側是無限體積的積分，所以這邊需要一些證明，可以訴諸勢能理論來表明速度u必須作為r⁻³下降（在三維物體大小有限的情形下，對應於偶極勢場 ）其中r是到物體中心的距離。體積分中的被積函數可重寫如下：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}}$

這邊使用了第一個等式（1）以及流體的不可壓縮性。將其代回體積分，並再次使用散度定理。這就產生了

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.}$

將其代入（3）之中，我們發現

${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$

由於液體不能穿透物體，因此在物體表面n · u = n · v。所以,${\displaystyle \sum _{i}n_{i}\,v_{i}=\sum _{i}n_{i}\,u_{i}}$

加上

${\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.}$

最後，阻力是在物體移動方向的力，所以

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {F}}=\sum _{k}v_{k}F_{k}=0.}$

因此阻力消失了，此即為達朗貝爾佯謬。

參考

• d'Alembert, Jean le Rond, Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, 1752 [2020-07-12], （原始內容存檔於2016-02-16）
• d'Alembert, Jean le Rond, Memoir XXXIV, Opuscules Mathématiques 5 §I: 132–138, 1768
• Prandtl, Ludwig, Motion of fluids with very little viscosity 452, NACA Technical Memorandum, 1904 [2020-07-12], （原始內容存檔於2020-07-12）

進一步閱讀

• Batchelor, G., An introduction to fluid dynamics, Cambridge Mathematical Library 2nd, Cambridge University Press, 2000, ISBN 978-0-521-66396-0, MR 1744638
• Falkovich, G., Fluid Mechanics, a short course for physicists, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1-107-00575-4
• Grimberg, G.; Pauls, W.; Frisch, U., Genesis of d'Alembert's paradox and analytical elaboration of the drag problem, Physica D, 2008, 237 (14–17): 1878–1886, Bibcode:2008PhyD..237.1878G, arXiv:0801.3014 , doi:10.1016/j.physd.2008.01.015
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M., Fluid Mechanics, Course of Theoretical Physics 6 2nd, Pergamon Press, 1987, ISBN 978-0-08-009104-4
• Stewartson, K., D'Alembert's Paradox, SIAM Review, 1981, 23 (3): 308–343, doi:10.1137/1023063

外部連結

• Potential Flow and d'Alembert's Paradox at MathPages

筆記

1. Jean le Rond d'Alembert (1752).
2. Grimberg, Pauls & Frisch (2008).
3. Falkovich (2011), p. 32.
4. Reprinted in: Jean le Rond d'Alembert (1768).
5. M.J. Lighthill, Physics of gas flow at very high speeds, Nature, 1956, 178 (4529): 343, Bibcode:1956Natur.178..343., doi:10.1038/178343a0
6. Landau & Lifshitz (1987), p. 15.
7. Batchelor (2000), pp. 264–265, 303, 337.
8. Schlichting, Hermann; Gersten, Klaus, Boundary-layer theory 8th revised and enlarged, Springer, 2000, ISBN 978-3-540-66270-9, pp. XIX–XXIII.
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11. Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M., The Feynman Lectures on Physics, Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1963, ISBN 978-0-201-02116-5, Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, pp. 41–9 – 41–10.
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13. Stokes, G.G., On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums, Trans. Camb. Philos. Soc., 1851, 9: 8–106, Bibcode:1851TCaPS...9....8S. Reprinted in Stokes, G.G., On the effect..., Mathematical and Physical Papers 2nd (Cambridge Univ. Press)
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27. Prandtl (1904).
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29. Garrett Birkhoff, Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude, Princeton University Press, 1950
30. Birkhoff (1950) p. 4.
31. Birkhoff (1950) p. 21.
32. James J. Stoker, Review: Garrett Birkhoff, Hydrodynamics, a study in logic, fact, and similitude, Bull. Amer. Math. Soc., 1951, 57 (6): 497–499 [2022-07-25], doi:10.1090/S0002-9904-1951-09552-X, （原始內容存檔於2020-06-16）.
33. Closest to the first quote comes, on page 5:
34. For instance, the paradox of the constancy of the speed of light in all directions, was solved by the special theory of relativity.
35. This article follows the derivation in Section 6.4 of Batchelor (2000).