道格拉斯-普克算法

拉默-道格拉斯-普克演算法（英語：Ramer–Douglas–Peucker algorithm），又稱道格拉斯-普克演算法（英語：Douglas–Peucker algorithm）和迭代端點擬合算法（英語：iterative end-point fit algorithm），是一種將線段組成的曲線降採樣為點數較少的類似曲線的算法。它是最早成功地用於製圖綜合（英語：cartographic generalization）的算法之一。

思路

該算法的目的是，給定一條由線段構成的曲線（在某些情況下也稱為折線），找到一條點數較少的相似曲線。該算法根據原曲線與簡化曲線之間的最大距離（即曲線之間的郝斯多夫距離）來定義 "不相似"。簡化曲線由定義原始曲線的點的子集組成。

算法

起始曲線是一組有序的點或線，距離維度 ε > 0。

該算法遞歸劃分線。最初，它被賦予了第一點和最後一點之間的所有點。它自動標記要保留的第一點和最後一點。然後它找到離以第一點和最後一點為終點的線段最遠的點；這個點顯然是曲線上離終點之間的近似線段最遠的點。如果這個點離線段的距離比 ε 更近，那麼在簡化曲線不比 ε 差的情況下，可以捨棄任何當前沒有標記保留的點。

如果離線段最遠的點大於近似值 ε，那麼該點必須保留。該算法以第一點和最遠點遞歸調用自身，然後以最遠點和最後一點調用自身，其中包括最遠點被標記為保留。

當遞歸完成後，可以生成一條新的輸出曲線，該曲線由所有且僅由那些被標記為保留的點組成。

非參數化的拉默-道格拉斯-普克演算法

ε 的選擇通常由用戶定義。像大多數線擬合/多邊形逼近/主點檢測方法一樣，它可以通過使用數碼化/量化引起的誤差邊界作為終止條件來實現非參數化。^[1]

偽代碼

（假設輸入是一個索引從1開始的數組）

function DouglasPeucker(PointList[], epsilon)
    // Find the point with the maximum distance
    dmax = 0
    index = 0
    end = length(PointList)
    for i = 2 to (end - 1) {
        d = perpendicularDistance(PointList[i], Line(PointList[1], PointList[end]))
        if (d > dmax) {
            index = i
            dmax = d
        }
    }
    
    ResultList[] = empty;
    
    // If max distance is greater than epsilon, recursively simplify
    if (dmax > epsilon) {
        // Recursive call
        recResults1[] = DouglasPeucker(PointList[1...index], epsilon)
        recResults2[] = DouglasPeucker(PointList[index...end], epsilon)

        // Build the result list
        ResultList[] = {recResults1[1...length(recResults1) - 1], recResults2[1...length(recResults2)]}
    } else {
        ResultList[] = {PointList[1], PointList[end]}
    }
    // Return the result
    return ResultList[]
end

連結：https://karthaus.nl/rdp/ （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

應用

該算法用於處理向量圖形和製圖綜合（英語：cartographic generalization）。它並不總是保留曲線的非自交屬性，這導致了變體算法的發展。^[2]

該算法廣泛應用於機械人技術^[3]中，對旋轉式測距掃描儀獲取的測距數據進行簡化和去噪處理；在這個領域，它被稱為分割合併算法，歸功於Duda和Hart。^[4]

複雜度

該算法在由 $n-1$ 段和 $n$ 個頂點組成的折線上運行時的時間由遞歸 $T(n)=T(i+1)+T(n-i)+O(n)$ 給出，其中 $i\in \{1,\ldots ,n-2\}$ 是偽代碼中的索引值。在最壞的情況下，每次遞歸調用時， $i=1$ 或 $i=n-2$ ，該算法的運行時間為 $\Theta (n^{2})$ 。在最好的情況下，在每次遞歸調用時， $i=\lfloor n/2\rfloor$ 或 $i=\lceil n/2\rceil$ ，在這種情況下，運行時間具有 $O(n\log n)$ 的眾所周知的解（通過分治法的主定理）。

使用（全或半）動態凸包（英語：Dynamic convex hull）數據結構，算法所進行的簡化可以在 $O(n\log n)$ 時間內完成。^[5]

類似算法

線簡化的替代算法包括：

Visvalingam–Whyatt
Reumann–Witkam
Opheim simplification
Lang simplification
Zhao-Saalfeld

參見

曲線擬合

延伸閱讀

Urs Ramer, "An iterative procedure for the polygonal approximation of plane curves", Computer Graphics and Image Processing, 1(3), 244–256 (1972) doi:10.1016/S0146-664X(72)80017-0
David Douglas & Thomas Peucker, "Algorithms for the reduction of the number of points required to represent a digitized line or its caricature", The Canadian Cartographer 10(2), 112–122 (1973) doi:10.3138/FM57-6770-U75U-7727
John Hershberger & Jack Snoeyink, "Speeding Up the Douglas–Peucker Line-Simplification Algorithm", Proc 5th Symp on Data Handling, 134–143 (1992). UBC Tech Report TR-92-07 available at http://www.cs.ubc.ca/cgi-bin/tr/1992/TR-92-07 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
R.O. Duda and P.E. Hart, "Pattern classification and scene analysis", (1973), Wiley, New York (https://web.archive.org/web/20110715184521/http://rii.ricoh.com/~stork/DHS.html)
Visvalingam, M; Whyatt, JD. Line Generalisation by Repeated Elimination of the Smallest Area (技術報告). Discussion Paper. Cartographic Information Systems Research Group (CISRG), The University of Hull. 1992 [2020-12-18]. 10. （原始內容存檔於2021-01-30）.

參考文獻

[1]
Prasad, Dilip K.; Leung, Maylor K.H.; Quek, Chai; Cho, Siu-Yeung. A novel framework for making dominant point detection methods non-parametric. Image and Vision Computing. 2012, 30 (11): 843–859. doi:10.1016/j.imavis.2012.06.010.
[2]
Wu, Shin-Ting; Marquez, Mercedes. A non-self-intersection Douglas-Peucker algorithm. 16th Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI 2003). Sao Carlos, Brazil: IEEE. 2003: 60–66. CiteSeerX 10.1.1.73.5773 . ISBN 978-0-7695-2032-2. doi:10.1109/SIBGRA.2003.1240992. |book-title=被忽略 (幫助)
[3]
Nguyen, Viet; Gächter, Stefan; Martinelli, Agostino; Tomatis, Nicola; Siegwart, Roland. A comparison of line extraction algorithms using 2D range data for indoor mobile robotics (PDF). Autonomous Robots 23 (2). 2007: 97–111 [2020-12-18]. doi:10.1007/s10514-007-9034-y. （原始內容 (PDF)存檔於2021-04-23）. 參數|journal=與模板{{cite conference}}不匹配（建議改用{{cite journal}}或|book-title=） (幫助)
[4]
Duda, Richard O.; Hart, Peter E. Pattern classification and scene analysis. New York: Wiley. 1973. ISBN 0-471-22361-1.
[5]
Hershberger, John; Snoeyink, Jack. Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm (PDF) (技術報告). 1992 [2020-12-18]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-05-06）.