逆散射變換

逆散射變換是求解某些非線性偏微分方程的一種方法，在某種意義上是傅里葉變換的非線性推廣。這種方法的核心思想是，從散射數據的演變中恢復勢的演變：逆散射指的是從散射矩陣中恢復勢的問題。

逆散射變換可用於許多所謂「完全可解模型」，即完全可積的無限維系統。

概述

逆散射變換首先由Clifford S. Gardner, John M. Greene, and Martin D. Kruskal et al. （1967, 1974）提出，用於求解KdV方程，並很快擴展到非線性薛定諤方程、正弦-戈爾登方程及戶田晶格方程。後來也用於求解KP方程、石森方程、迪姆方程等等。博格莫尼方程（對於給定的規範群與定向黎曼3流形）提供了一族例子，其${\displaystyle L^{2}}$解是磁單極子。 用逆散射法得到的解有一個特點，就是存在孤波，是類似於粒子又類似於波的解，線性偏微分方程中沒有這種解。「孤波」是非線性光學的概念。 逆散射問題可以寫作黎曼–希爾伯特分解問題，至少在一個空間維度的方程中是這樣。這種表述可以推廣到多階微分算子和周期勢。 在更高的空間維度中，會遇到「非局部」黎曼–希爾伯特分解問題（用卷積代替乘法）或Dbar問題。

例子：KdV方程

KdV方程是非線性分散演化偏微分方程，涉及有兩個實變量（空間變量x與時間變量t）的函數u：

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

其中${\displaystyle u_{t}}$、${\displaystyle u_{x}}$分別表示關於t和x的偏導數。

${\displaystyle u(x,0)}$是x的已知函數，要解初值問題，可將薛定諤特徵方程

${\displaystyle \psi _{xx}-u\psi =\lambda \psi .}$

與這個方程聯繫起來，其中${\displaystyle \psi }$是t與x的未知函數，u是KdV方程的解，除了在${\displaystyle t=0}$時未知。常數${\displaystyle \lambda }$是一個特徵值。

根據薛定諤方程，可得

${\displaystyle u={\frac {1}{\psi }}\psi _{xx}-\lambda .}$

將其代入KdV方程並積分，得到

${\displaystyle \psi _{t}+\psi _{xxx}-3(u-\lambda )\psi _{x}=C\psi +D\psi \int {\frac {1}{\psi ^{2}}}dx}$

其中C、D為常數。

解法

Step 1. 確定非線性偏微分方程。這通常是通過分析所研究的物理實現的。

Step 2. 應用正向散射。關鍵是找到Lax 對，Lax 對由兩個線性算子${\displaystyle L}$、${\displaystyle M}$組成，即${\displaystyle Lv=\lambda v}$、${\displaystyle v_{t}=Mv}$。極為重要的是，特徵值${\displaystyle \lambda }$與時間無關，即${\displaystyle \lambda _{t}=0.}$實現這一點的必要條件與充分條件如下：取${\displaystyle Lv=\lambda v}$的時間導數，得到

${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.}$

將${\displaystyle Mv}$插入${\displaystyle v_{t}}$，得到

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.}$

重排最右側的項，得到

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.}$

因此，

${\displaystyle L_{t}v+LMv-MLv=\lambda _{t}v.}$

由於${\displaystyle v\not =0}$，這意味着${\displaystyle \lambda _{t}=0}$若且唯若

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=0.\,}$

這是Lax方程，當中${\displaystyle L_{t}}$是${\displaystyle L}$的時間導數，明確地依賴於${\displaystyle t}$。之所以這樣定義微分，是因為${\displaystyle L}$的最簡單實例，即薛定諤算子（參薛定諤方程）：

${\displaystyle L=\partial _{xx}+u,}$

其中u是「勢」。比較表達式${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}}$與${\displaystyle \partial _{t}\left(v_{xx}+uv\right)}$，可以發現${\displaystyle L_{t}=u_{t},}$因此可以忽略第一項。

擬合出適當的Lax對後，Lax方程應可恢復原來的非線性PDE。

Step 3. 確定與每個特徵值${\displaystyle \lambda }$相關的特徵函數、規範常數與反射係數的時間演化，它們構成所謂散射數據。演化由線性常微分方程給出，可以求解。

Step 4. 通過求解馬琴科方程^[1][2]這一線性積分方程，進行逆散射，從而獲得原非線性PDE的最終解。為此，需要所有散射數據。若反射係數為零，過程會簡單很多。若${\displaystyle L}$是一階微分或二階差分，這步就會起作用，但對高階算子則不一定。不過，在所有情況下，逆散射問題都可以簡化為黎曼–希爾伯特問分解問題。（兩種方法見於Ablowitz-Clarkson (1991)。數學上的嚴格處理方法參Marchenko (1986)。）

可積方程的例子

• KdV方程
• 非線性薛定諤方程
• 卡馬薩-霍爾姆方程
• 正弦-戈爾登方程
• 戶田晶格
• 石森方程
• 迪姆方程

另見

• 量子逆散射法

參考文獻

1. Gel』fand, I. M. & Levitan, B. M., "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955.
2. V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.

閱讀更多

• M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Philadelphia, 1981.
• N. Asano, Y. Kato, Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations, Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990.
• M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
• Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Method for Solving the Korteweg-deVries Equation, Physical Review Letters, 1967, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095
• Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution., Comm. Pure Appl. Math., 1974, 27: 97–133, MR 0336122, doi:10.1002/cpa.3160270108
• V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.
• J. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, SIAM, Philadelphia, 2004.
• Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

外部連結

• Introductory mathematical paper on IST (PDF). [2023-11-14]. （原始內容存檔 (PDF)於2011-09-26）. (300 KiB)
• Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）